2005-辽宁卷-08 单-等差数列的性质

本题导读

本题将数列与解三角形交汇考查，通过等差数列性质确定三角形的内角，再利用正弦定理和三角恒等变换建立边长比值的函数关系式，考查函数与方程思想及运算变形能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 $m$，则 $m$ 的范围是()

A. $(1,2)$　　　　B. $(2,+\infty )$　　　　C. $[3,+\infty )$　　　　D. $(3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设三角形三内角为 $A⩽B⩽C$，由等差数列性质和内角和定理可确定中间角 $B=60^{\circ }$。
2. 结合“钝角三角形”及内角大于 0 的限制，推导出最大角 $C$ 的取值范围。
3. 利用正弦定理将比值 $m=\frac{c}{a}$ 转化为对应角的正弦之比，通过两角差的正弦公式化简为关于 $C$ 的一元三角函数，进而求出值域。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设钝角三角形三内角由小到大分别为 $A,B,C$，即 $A⩽B⩽C$。 因为 $A,B,C$ 的度数成等差数列，所以 $2B=A+C$。 又因为 $A+B+C=180^{\circ }$， 所以 $3B=180^{\circ }$，解得 $B=60^{\circ }$。 从而 $A+C=120^{\circ }$，即 $A=120^{\circ }-C$。 由于该三角形为钝角三角形，且 $C$ 为最大角，则必有 $C>90^{\circ }$。 同时，由最小角 $A>0^{\circ }$ 可得 $120^{\circ }-C>0^{\circ }⟹C<120^{\circ }$。 综上可知，角 $C$ 的取值范围是 $90^{\circ }<C<120^{\circ }$。

设三内角 $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$，则最大边为 $c$，最小边为 $a$。 由正弦定理可知： $m=\frac{c}{a}=\frac{\sin C}{\sin A}=\frac{\sin C}{\sin (120^{\circ }-C)}$ 利用两角差的正弦公式展开分母： $m=\frac{\sin C}{\sin 120^{\circ }\cos C-\cos 120^{\circ }\sin C}=\frac{\sin C}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C+\frac{1}{2}\sin C}$ 分子分分母同除以 $\sin C$（因 $90^{\circ }<C<120^{\circ }$，$\sin C\ne 0$），得： $m=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C+\frac{1}{2}}$ 因为 $90^{\circ }<C<120^{\circ }$，所以 $-\frac{\sqrt{3}}{3}<\cot C<0$。 由此可得分母的范围： $\frac{\sqrt{3}}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C+\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}\times 0+\frac{1}{2}$ $0<\frac{\sqrt{3}}{2}\cot C+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}$ 由于分母在区间 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 内，取倒数后可得： $m>2$ 即 $m$ 的取值范围是 $(2,+\infty )$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形内角成等差数列的隐含结论、正弦定理的边角转换。
2. 核心方法：通过三角变形引入辅助函数（或利用共轭思想转换为余切函数）来求解复杂的分式型三角函数值域。
3. 避坑指南：极易漏掉 $C<120^{\circ }$ 的限制条件。很多考生只注意到钝角而判定 $C>90^{\circ }$，若不通过 $A>0^{\circ }$ 约束上限，会导致最终范围的推导出现偏差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查了解三角形中经典的边角综合范围问题，要求考生对多分支知识点（数列、大边对大角、三角恒等变换）进行有机整合。
2. 结论推广：若任意三角形的三内角成等差数列，则必有 $B=60^{\circ }$。

• 若该三角形为锐角三角形，则 $60^{\circ }<C<90^{\circ }$，同理可解得最大边与最小边之比 $m$ 的范围为 $(1,2)$；
• 若该三角形为直角三角形，则 $C=90^{\circ }$，$A=30^{\circ }$，最大边与最小边之比 $m=\frac{\sin 90^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 19.01 等差数列全总结
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)