2005-辽宁卷-07 单-新定义运算

本题导读

本题通过新定义运算考查含参一元二次不等式的恒成立问题，意在测试转化与化归思想以及利用判别式解决恒成立问题的能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 在 $\mathbf{R}$ 上定义运算 $\otimes :x\otimes y=x(1-y)$.若不等式 $(x-a)\otimes (x+a)<1$ 对任意实数 $x$ 成立，则()

A. $-1<a<1$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $0<a<2$

C. $-\frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　D. $-\frac{3}{2}<a<\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据新定义运算的规则，将 $(x-a)\otimes (x+a)<1$ 展开并化简为关于 $x$ 的常规一元二次不等式。
2. 将“对任意实数 $x$ 恒成立”转化为二次函数图象始终在 $x$ 轴上方，利用判别式 $\Delta <0$ 列出关于参数 $a$ 的不等式求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据新定义运算 $\otimes$ 的规则，原不等式可化为： $(x-a)[1-(x+a)]<1$ 展开整理得： $(x-a)(1-x-a)<1$ $x-x^2-ax-a+ax+a^2<1$ $-x^2+x+a^2-a<1$ 移项变形为标准形式： $x^2-x-a^2+a+1>0$ 因为该不等式对任意实数 $x$ 恒成立，且二次项系数 $1>0$， 所以其对应二次方程的判别式必满足 $\Delta <0$， 即 $\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times (-a^2+a+1)<0$， 化简得： $1+4a^2-4a-4<0⟹4a^2-4a-3<0$ 因式分解得： $(2a-3)(2a+1)<0$ 解得： $-\frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义运算的代数化翻译，以及一元二次不等式 $A{x}^2+Bx+C>0$ 恒成立的充要条件（$A>0$ 且 $\Delta <0$）。
2. 核心方法：利用判别式法将含有自变量的恒成立问题转化为纯参数的不等式问题。
3. 避坑指南：展开新定义式时注意负号和括号的分配；应用判别式时切勿把“恒大于 0”错误对应成 $\Delta >0$，需明确图象与 $x$ 轴无交点即对应方程无实根，故 $\Delta <0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由教材中二次函数性质与判别式应用延伸出的新定义创新题，旨在考查考生的现场学习与符号迁移能力。
2. 结论推广：对于任意形如 $x\otimes y=f(x,y)$ 的新定义运算恒成立问题，其解题核心均是通过“符号代换-公式展开-重组变形”将其转化为传统的二次方程或二次函数性质进行突破。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

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