2005-辽宁卷-05 单-反函数的求法

本题导读

本题考查反函数的求解方法，意在测试对数式与指数式的互化及代数式变形的运算能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 函数 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 的反函数是()

A. $y=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$　　　　　　　　　　　　　　B. $y=-\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$

C. $y=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$　　　　　　　　　　　　　　D. $y=-\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将对数式 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 转化为指数式得到 ${\mathrm{e}}^y$ 的表达式。
2. 利用分子有理化或倒数关系求出 ${\mathrm{e}}^{-y}$ 的表达式。
3. 两式相减消去二次根式，解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式，最后对调 $x,y$ 即可。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由原函数 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$，转化为指数式可得： ${\mathrm{e}}^y=x+\sqrt{x^2+1}\text{(1)}$ 则其倒数为： ${\mathrm{e}}^{-y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}=\sqrt{x^2+1}-x\text{(2)}$ 由 ① - ② 得： ${\mathrm{e}}^y-{\mathrm{e}}^{-y}=2x$ 解得： $x=\frac{{\mathrm{e}}^y-{\mathrm{e}}^{-y}}{2}$ 将 $x$ 与 $y$ 对调，可得所求反函数为： $y=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求法（反解自变量、求原函数值域作为反函数定义域、x 与 y 互换）。
2. 核心方法：利用 $\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1$ 构造关于 ${\mathrm{e}}^y$ 与 ${\mathrm{e}}^{-y}$ 的方程组。
3. 避坑指南：直接移项平方较为繁琐且易错，利用共轭根式构造倒数关系可以大幅简化运算。此外，本题原函数的值域为 $\mathbf{R}$，故反函数的定义域为 $\mathbf{R}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题的原函数为大学高等数学中的反双曲正弦函数 $y=\mathrm{arsinh}x$，其反函数即为双曲正弦函数 $y=\sinh x=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$。
2. 结论推广：同理可得，反双曲余弦函数 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)(x⩾1)$ 的反函数为双曲余弦函数 $y=\cosh x=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}(x⩾0)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

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