2005-福建卷理-22 解-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查有穷递推数列的终止判定、利用数学归纳法完成双数列镜像对称性传导证明。核心在于数学归纳法与递推有穷性判定。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 22. 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a,a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}$.我们知道当 $a$ 取不同的值时，得到不同的数列，如当 $a=1$ 时，得到无穷数列： $1,2,\frac{3}{2},\frac{5}{3},\cdots$；当 $a=-\frac{1}{2}$ 时，得到有穷数列： $-\frac{1}{2},-1,0$.

(1) 求当 $a$ 为何值时 $a_4=0$；

(2) 设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=-1,b_{n+1}=\frac{1}{b_n-1}$ ($n\in {\mathbf{N}}_{+}$)，求证 $a$ 取数列 $\{b_n\}$ 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 $\{a_n\}$；

(3) 若 $\frac{3}{2}<a_n<2$ ($n⩾4$)，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：

• 采用逆推法。已知 $a_4=0$，根据递推式 $a_4=1+\frac{1}{a_3}$ 倒推出 $a_3$，进而依次推出 $a_2,a_1$ 的具体数值。

2. 第 (2) 问：

• 数列 $\{a_n\}$ 成为有穷数列，意味着存在某一项 $a_k=0$，导致下一项 $a_{k+1}$ 的分母为 0 无法继续计算。
• 要证明若 $a=b_m$，数列 $\{a_n\}$ 必有穷。可通过观察递推关系的互逆性，利用数学归纳法证明当 $a=b_m$ 时，项数递减必能产生 $a_{m+2}=0$ 从而终止。

3. 第 (3) 问：

• 利用递推式 $a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}$ 的单调逆转性，通过不等式映射逐步反向约束首项 $a$ 的边界。

✅【答案】

Success

对任意 $m\in {\mathbf{N}}_{+}$，若 $a=b_m$，数列 $\{a_n\}$ 在第 $m+1$ 项必然为 0，即该数列为有穷数列

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 求当 $a_4=0$ 时首项 $a$ 的值 根据递推公式 $a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}⟹\frac{1}{a_n}=a_{n+1}-1⟹a_n=\frac{1}{a_{n+1}-1}$： $\because a_4=0⟹a_3=\frac{1}{0-1}=-1$ $⟹a_2=\frac{1}{a_3-1}=\frac{1}{-1-1}=-\frac{1}{2}$ $⟹a_1=\frac{1}{a_2-1}=\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}=-\frac{2}{3}$ 故当 $a=-\frac{2}{3}$ 时， $a_4=0$。

• (2) 证明：若 $a\in \{b_n\}$，则 $\{a_n\}$ 为有穷数列 首先分析有穷数列的终止机制：若 $a_k=0$，则 $a_{k+1}$ 的分母为 0 导致数列终止，此时 $\{a_n\}$ 共有 $k$ 项。 由第 (1) 问逆推解析式可知： $a_n=\frac{1}{a_{n+1}-1}$。这与 $\{b_n\}$ 的递推公式 $b_{n+1}=\frac{1}{b_n-1}$ 具有高度镜像对称性。

下面用数学归纳法证明：若首项 $a=b_m$，则 $a_{m+2}=0$。

• 当 $m=1$ 时： $a=b_1=-1$。 计算得 $a_2=1+\frac{1}{-1}=0$，即 $a_{1+1}=0$，结论成立。
• 假设当 $m=k$ 时结论成立：即若首项 $a=b_k$，能推出 $a_{k+1}=0$。
• 当 $m=k+1$ 时：首项 $a=b_{k+1}=\frac{1}{b_k-1}$。 根据 $\{a_n\}$ 的递推公式，第二项为： $a_2=1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{\frac{1}{b_k-1}}=1+(b_k-1)=b_k$ 由于第二项 $a_2=b_k$，根据归纳假设，以 $b_k$ 为起始经过 $k$ 步迭代对应的项必为 0。即从 $a_2$ 算起的第 $k+1$ 项（总项数为第 $k+2$ 项）必定为 0： $a_{(k+1)+1}=a_{k+2}=0$

综上所述，对任意 $m\in {\mathbf{N}}_{+}$，若 $a=b_m$，数列 $\{a_n\}$ 在第 $m+1$ 项必然为 0，即该数列为有穷数列。

• (3) 求 $a$ 的取值范围，使 $\frac{3}{2}<a_n<2$ 对所有 $n⩾4$ 恒成立 由题意，对任意 $n⩾4$，都有 $\frac{3}{2}<a_n<2$ 恒成立，这意味着 $a_4,a_5,a_6,\cdots$ 必须全部落在此区间内。

根据函数 $f(x)=1+\frac{1}{x}$ 在 $x>0$ 时的单调递减性质进行区间双向迭代： $\because \frac{3}{2}<a_5<2⟹\frac{3}{2}<1+\frac{1}{a_4}<2⟹\frac{1}{2}<\frac{1}{a_4}<1⟹1<a_4<2$ 结合已知条件 $a_4$ 自身也必须满足 $\frac{3}{2}<a_4<2$，取交集可得 $a_4$ 的精确约束范围： $\frac{3}{2}<a_4<2$

以此类推，继续向前逆推前三项的范围：

1. 由 $a_4$ 推 $a_3$： $\frac{3}{2}<1+\frac{1}{a_3}<2⟹\frac{1}{2}<\frac{1}{a_3}<1⟹1<a_3<2$
2. 由 $a_3$ 推 $a_2$： $1<1+\frac{1}{a_2}<2⟹0<\frac{1}{a_2}<1⟹a_2>1$
3. 由 $a_2$ 推首项 $a$： $1+\frac{1}{a}>1⟹\frac{1}{a}>0⟹a>0$

同时，为保证整个数列可以顺利无阻地迭代到第四项（中间不能因出现 0 而退化为有穷数列），我们需要排除有穷数列首项集合 $\{b_n\}$。 由第 (2) 问知， $\{b_n\}$ 的各项均为负数（由于 $b_1=-1<0$，根据递推式可证所有 $b_n<0$）。而我们求得的范围是 $a>0$，天然排除了这批负根。

故 $a$ 的取值范围为 $(0,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有穷递推数列的终止判定、利用数学归纳法完成双数列镜像对称性传导证明。
2. 避坑指南：

• 第 (3) 问注意不等式同数相减和倒数变号的精准性。由于递推函数具有反比例减函数性质，每次对不等式取倒数时，不等号的方向必须发生颠倒。务必通过多项交集确保边界没有因粗心而扩大或缩小。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

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