2005-福建卷理-19 解-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数几何意义建立方程、商的求导法则、二次一元不等式确定单调区间。核心在于切线斜率建方程与商式求导定单调。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 19. 已知函数 $f(x)=\frac{ax-6}{x^2+b}$ 的图象在点 $M(-1,f(-1))$ 处的切线方程为 $x+2y+5=0$. （注：原图题干印刷写为 $f(x)$，应修正为 $f(-1)$）

(1) 求函数 $y=f(x)$ 的解析式；

(2) 求函数 $y=f(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 将切线方程化为斜截式 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$，可得切线斜率 $k=-\frac{1}{2}$，根据导数的几何意义有 $f^{\prime }(-1)=-\frac{1}{2}$。
• 切点 $M$ 既在函数图象上也在切线上，将 $x=-1$ 代入切线方程求出 $M$ 的纵坐标 $f(-1)$。
• 利用 $f(-1)$ 的值和 $f^{\prime }(-1)=-\frac{1}{2}$ 列出关于 $a,b$ 的方程组求解。

2. 第二问：

• 求出 $f^{\prime }(x)$，通过令 $f^{\prime }(x)>0$ 求解单调递增区间，令 $f^{\prime }(x)<0$ 求解单调递减区间。

✅【答案】

Success

函数 $y=f(x)$ 的单调递增区间为： $[3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3}]$；单调递减区间为： $(-\infty ,3-2\sqrt{3}]$ 和 $[3+2\sqrt{3},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 求函数 $y=f(x)$ 的解析式 将切线方程 $x+2y+5=0$ 变形得： $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$。 由此可知，切线斜率 $k=-\frac{1}{2}$，即： $f^{\prime }(-1)=-\frac{1}{2}$

将 $x=-1$ 代入切线方程可得切点 $M$ 的纵坐标： $-1+2y+5=0⟹2y=-4⟹y=-2$ 即 $f(-1)=-2$。将其代入原函数解析式中： $\frac{-a-6}{1+b}=-2⟹a+6=2+2b⟹a-2b=-4\text{(1)}$

对 $f(x)$ 进行求导（使用商的求导公式）： $f^{\prime }(x)=\frac{a(x^2+b)-(ax-6)\cdot 2x}{(x^2+b{)}^2}=\frac{-a{x}^2+12x+ab}{(x^2+b{)}^2}$ 将 $x=-1$ 代入导函数中： $f^{\prime }(-1)=\frac{-a-12+ab}{(1+b{)}^2}=-\frac{1}{2}\text{(2)}$

由 ① 得 $a=2b-4$，代入 ② 中化简： $\frac{-(2b-4)-12+(2b-4)b}{(1+b{)}^2}=-\frac{1}{2}$ $\frac{2b^2-6b-8}{(1+b{)}^2}=-\frac{1}{2}⟹\frac{2(b-4)(b+1)}{(1+b{)}^2}=-\frac{1}{2}$ $\because x^2+b$ 为分母，在 $x=-1$ 处有定义显见 $b\ne -1$，约去 $(b+1)$ 得： $\frac{2b-8}{1+b}=-\frac{1}{2}⟹4b-16=-1-b⟹5b=15⟹b=3$ 将 $b=3$ 代入 ① 得 $a=2\times 3-4=2$。

故所求函数的解析式为： $f(x)=\frac{2x-6}{x^2+3}$

• (2) 求函数 $y=f(x)$ 的单调区间 将 $a=2,b=3$ 代入导函数式中： $f^{\prime }(x)=\frac{-2x^2+12x+6}{(x^2+3{)}^2}=\frac{-2(x^2-6x-3)}{(x^2+3{)}^2}$

令 $f^{\prime }(x)=0⟹x^2-6x-3=0$，解得： $x_1=3-2\sqrt{3},x_2=3+2\sqrt{3}$

由于分母 $(x^2+3{)}^2>0$ 恒成立， $f^{\prime }(x)$ 的符号由分子 $-2(x^2-6x-3)$ 决定：

• 当 $x\in (-\infty ,3-2\sqrt{3})$ 或 $x\in (3+2\sqrt{3},+\infty )$ 时， $x^2-6x-3>0⟹f^{\prime }(x)<0$；
• 当 $x\in (3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3})$ 时， $x^2-6x-3<0⟹f^{\prime }(x)>0$。

综上所述： 函数 $y=f(x)$ 的单调递增区间为： $[3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3}]$； 单调递减区间为： $(-\infty ,3-2\sqrt{3}]$ 和 $[3+2\sqrt{3},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义建立方程、商的求导法则、二次一元不等式确定单调区间。
2. 避坑指南：

• 化简导式时注意分式约分提速。在第一问中，由方程 ② 化简得到 $2b^2-6b-8$，应敏锐发现其可因式分解为 $2(b-4)(b+1)$，从而与分母中的 $(1+b)$ 直接约分简化，避免盲目展开成一元二次方程导致计算量过大而出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将参数置于区间端点或极值点，讨论单调区间的划分与最值取到的位置，强化导数符号分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)