2005-福建卷理-18 解-离散型随机变量的

本题导读

本题考查随机变量数学期望的线性性质、对立事件转化思想。核心在于独立事件期望线性性与对立事件概率。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 18. 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $\frac{2}{5}$，投中得 1 分，投不中得 0 分.

(1) 甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和 $\xi$ 的数学期望；

(2) 甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：

• 方法一（基本定义）：设甲得分为 $X_1$，乙得分为 $X_2$。得分之和 $\xi =X_1+X_2$。通过计算 $\xi$ 分别取 0, 1, 2 时的概率，列出分布列，再用数学期望定义式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算。
• 方法二（期望的线性性质）：直接求出甲单次投球得分的期望 $E(X_1)$ 和乙单次投球得分的期望 $E(X_2)$，由于 $\xi =X_1+X_2$，根据期望的性质 $E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$ 直接相加。

2. 第 (2) 问：

• “至少一次命中”的正面情况包括 1 次、2 次、3 次、4 次命中，计算较为繁琐。
• 考虑其对立事件：“四次投球全部没有命中”。先分别算出甲两次不中、乙两次不中的概率，用乘法公式求出总的不中概率，再用 1 减去该概率。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{9}{10}$

(2) $\frac{91}{100}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 各投球一次，求得分之和 $\xi$ 的数学期望

• 方法一：分布列法 设甲投球一次得分为 $X_1$，其分布列为： $P(X_1=1)=\frac{1}{2}$, $P(X_1=0)=\frac{1}{2}$。 设乙投球一次得分为 $X_2$，其分布列为： $P(X_2=1)=\frac{2}{5}$, $P(X_2=0)=\frac{3}{5}$。 两人得分之和 $\xi =X_1+X_2$，其所有可能取值为 $0,1,2$。

  各随机变量取值的概率计算如下： $P(\xi =0)=P(X_1=0)\cdot P(X_2=0)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{3}{10}$ $P(\xi =1)=P(X_1=1)\cdot P(X_2=0)+P(X_1=0)\cdot P(X_2=1)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ $P(\xi =2)=P(X_1=1)\cdot P(X_2=1)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

  所以 $\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=0\times \frac{3}{10}+1\times \frac{5}{10}+2\times \frac{2}{10}=\frac{9}{10}$

• 方法二：期望线性性质法（极简） 设甲、乙投球一次的得分分别为 $X_1,X_2$。 $E(X_1)=1\times \frac{1}{2}+0\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ $E(X_2)=1\times \frac{2}{5}+0\times \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$ 根据数学期望的线性性质 $\xi =X_1+X_2$： $E(\xi )=E(X_1)+E(X_2)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{9}{10}$

• (2) 各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率 设事件 $A$ 为“四次投球中至少一次命中”，则其对立事件 $\bar{A}$ 为“四次投球全部没有命中”。

根据独立重复试验概率公式：

• 甲两次投球均不命中的概率为： ${\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$
• 乙两次投球均不命中的概率为： ${\left(1-\frac{2}{5}\right)}^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

由于甲、乙两人投球结果相互独立，四次均不命中的概率为： $P(\bar{A})=\frac{1}{4}\times \frac{9}{25}=\frac{9}{100}$

因此，至少有一次命中的概率为： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{9}{100}=\frac{91}{100}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量数学期望的线性性质 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$、对立事件转化思想。
2. 避坑指南：

• 第 (2) 问切勿采用正面分类计算。如果正面分成 1 次中、2 次中、3 次中、4 次中分别讨论，需要用组合数对具体是“谁在第几次投中”进行繁琐的排列组合罗列，极易漏掉某种情况。看到**“至少一次”等字眼，必须优先启动对立事件法**（ $1-P(\text{全不})$ ）。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变试验次数或命中概率，重新列分布列并求期望，体会独立重复试验的模型识别。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)