2005-福建卷理-17 解-同角三角函数的基本关系

本题导读

本题考查利用两式平方差进行“和”与“差”的转换、半角至单角的二倍角代换公式。核心在于平方差转换与二倍角代换。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 17. 已知 $-\frac{\pi }{2}<x<0$, $\sin x+\cos x=\frac{1}{5}$.

(1) 求 $\sin x-\cos x$ 的值；

(2) 求 $\frac{3{\sin }^2\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}}{\tan x+\cot x}$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：对已知等式两边平方，利用 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 求出 $2\sin x\cos x$ 的值。再将 $(\sin x-\cos x{)}^2$ 展开，结合 $x$ 的范围判定 $\sin x-\cos x$ 的正负号并开方。
2. 第二问：

• 针对分子：利用半角公式与倍角公式将自变量由 $\frac{x}{2}$ 统一转化为 $x$ 的表达式。
• 针对分母：将 $\tan x+\cot x$ 化为弦函数形式 $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$。
• 最后代入第一问中算出的基本三角函数值求解。

✅【答案】

Success

(1) $-\frac{7}{5}$

(2) $-\frac{108}{125}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 求 $\sin x-\cos x$ 的值 将 $\sin x+\cos x=\frac{1}{5}$ 两边平方得： $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{25}$ ${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=\frac{1}{25}$ $\because {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$， $\therefore 1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}⟹2\sin x\cos x=-\frac{24}{25}$

考查目标式平方展开： $(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1-\left(-\frac{24}{25}\right)=\frac{49}{25}$

$\because -\frac{\pi }{2}<x<0$， $\therefore \sin x<0,\cos x>0$ $\therefore \sin x-\cos x<0$

故对平方结果取负根： $\sin x-\cos x=-\sqrt{\frac{49}{25}}=-\frac{7}{45}=-\frac{7}{5}$

• (2) 求组合分式的值 首先化简分子项 $A$： $A=3{\sin }^2\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}$ $A=2{\sin }^2\frac{x}{2}+\left({\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}\right)-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ 利用降幂公式 $2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$ 与二倍角公式 $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x$ 代入化简： $A=(1-\cos x)+1-\sin x=2-(\sin x+\cos x)$ 将 $\sin x+\cos x=\frac{1}{5}$ 代入分子： $A=2-\frac{1}{5}=\frac{9}{5}$

其次化简分母项 $B$： $B=\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$ 由第一问可知 $2\sin x\cos x=-\frac{24}{25}⟹\sin x\cos x=-\frac{12}{25}$，代入分母： $B=\frac{1}{-\frac{12}{25}}=-\frac{25}{12}$

由此，原式的值为： $\frac{A}{B}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{25}{12}}=\frac{9}{5}\times \left(-\frac{12}{25}\right)=-\frac{108}{125}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用两式平方差进行“和”与“差”的转换、半角至单角的二倍角代换公式。
2. 避坑指南：

• 开方时务必严格讨论符号。在第一问中 $(\sin x-\cos x{)}^2=\frac{49}{25}$，开方结果有 $\pm \frac{7}{5}$。由于限定区间在第四象限（ $-\frac{\pi }{2}<x<0$ ），正弦为负，余弦为正，其差值必须为负数。若此处直接写正号，第一问和第二问后续步骤均会导致符号颠倒而丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.05 正切恒等式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)