2005-福建卷理-16 填-函数几何对称变换的

本题导读

本题考查函数几何对称变换的代数表现形式，以及反函数的指数化求解。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 16. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数 $f(x)=3+{\log }_{2}x$ 的图象与 $g(x)$ 的图象关于$\underline{}$对称，则函数 $g(x)=$ $\underline{}$. 注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形.

🔍【思路分析】

破题导航

本题是一道开放性填空题，考查经典的几何对称变换（关于 $x$ 轴、 $y$ 轴、原点或直线 $y=x$ 对称）。选择任意一种对称关系，利用坐标代换规律求出 $g(x)$ 的解析式即可：

1. 关于 $x$ 轴对称：点 $(x,y)$ 变为 $(x,-y)$，则 $g(x)=-f(x)$。
2. 关于 $y$ 轴对称：点 $(x,y)$ 变为 $(-x,y)$，则 $g(x)=f(-x)$。
3. 关于原点对称：点 $(x,y)$ 变为 $(-x,-y)$，则 $g(x)=-f(-x)$。
4. 关于直线 $y=x$ 对称：点 $(x,y)$ 变为 $(y,x)$，此时 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$。

✅【答案】

Success

$y=x，g(x)=2x-3$

✍【详细解析】

Abstract

解： 提供以下四种标准真命题方案，任选其一填入空格均可：

• 方案一：填“ $x$ 轴”， “ $-3-{\log }_{2}x$ ” 若 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称，则对应曲线上任意一点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。 $g(x)=-f(x)=-(3+{\log }_{2}x)=-3-{\log }_{2}x$

• 方案二：填“直线 $y=x$”， “ $2^{x-3}$ ” 若 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数。 令 $y=3+{\log }_{2}x⟹{\log }_{2}x=y-3$。 利用指数与对数的互化公式解出 $x$： $x=2^{y-3}$ 将 $x$ 与 $y$ 对调，得到反函数解析式： $g(x)=2^{x-3}$

• 方案三：填“ $y$ 轴”， “ $3+{\log }_2(-x)$ ” 若 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。 $g(x)=f(-x)=3+{\log }_2(-x)(x<0)$

• 方案四：填“原点”， “ $-3-{\log }_2(-x)$ ” 若 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于原点对称，则： $g(x)=-f(-x)=-3-{\log }_2(-x)(x<0)$

答案示例（以方案一为例）： $x$ 轴 ； $-3-{\log }_{2}x$ （或填写方案二的对应组合）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数几何对称变换的代数表现形式、反函数的指数化求解。
2. 避坑指南：

• 确保前后两个空格的逻辑完全一致。本题是联动填空，如果第一个空写了“ $x$ 轴”，第二个空却误写成了关于 $y$ 轴对称的解析式，则整题不得分。
• 若选择方案三或方案四，注意定义域的隐蔽变化。关于 $y$ 轴或原点对称后，自变量变为 $-x$，由对数真数严格大于 0 可知，此时 $g(x)$ 的定义域自动变为 $(-\infty ,0)$，在代数式中务必体现为 ${\log }_2(-x)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将圆的方程或直线条件改变，用几何法（垂径定理、切线性质）简化运算，避免盲目联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)