2005-福建卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式通项公式精确应用，以及分数与负数指数幂的混合化简。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 13. ${\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)}^6$ 展开式中的常数项是$\underline{}$. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式：根据二项式定理， $(a+b{)}^n$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。此处 $n=6$， $a=2\sqrt{x}=2x^{\frac{1}{2}}$， $b=-\frac{1}{x}=-x^{-1}$。
2. 合并同底数幂：将通项公式中的常数部分与字母 $x$ 的幂次部分分离开，合并 $x$ 的指数，整理成 $A\cdot x^{f(r)}$ 的形式。
3. 令指数为零求解 $r$：常数项即指 $x$ 的指数为 0 的项。令 $f(r)=0$ 解出相应的 $r$ 值（ $r$ 必须为满足 $0⩽r⩽n$ 的整数），代入常数部分计算出最终的数值结果。

✅【答案】

Success

$240$

✍【详细解析】

Abstract

解： 二项式 ${\left(2x^{\frac{1}{2}}-x^{-1}\right)}^6$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot {\left(2x^{\frac{1}{2}}\right)}^{6-r}\cdot {\left(-x^{-1}\right)}^r$

将常数系数与字母 $x$ 提取并分离合并： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot x^{\frac{6-r}{2}}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{\frac{6-r}{2}-r}$ $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{3-\frac{3}{2}r}$

要求展开式中的常数项，只需令 $x$ 的指数为 0： $3-\frac{3}{2}r=0⟹\frac{3}{2}r=3⟹r=2$

将 $r=2$ 代入通项公式中的常数系数部分： $T_3={\mathrm{C}}_6^2\cdot 2^{6-2}\cdot (-1{)}^2={\mathrm{C}}_6^2\cdot 2^4\cdot 1$

计算组合数与幂的值： ${\mathrm{C}}_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$ $2^4=16$

因此，常数项的值为： $15\times 16=240$

答案为 240。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项公式精确应用、分数与负数指数幂的混合化简。
2. 避坑指南：

• 切勿漏掉第二项前面的负号。在写通项公式时，第二项 $b$ 是包含符号的，即 $b=-\frac{1}{x}$。负号对应的 $(-1{)}^r$ 会直接影响最终结果的正负性。由于本题求得 $r=2$ 是偶数， $(-1{)}^2=1$ 对正负没有影响。但如果养成漏写符号的习惯，在遇到 $r$ 为奇数时必错。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变展开式中的指数或求常数项、指定项系数，检验通项公式 $T_{r+1}$ 的代入与化简。

🔗【关联脉络】

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