2005-福建卷理-12 单-奇函数的几何性质

本题导读

本题考查奇函数隐含的定点结论，以及周期性质的数轴离散平移。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 12. $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 3 为周期的奇函数，且 $f(2)=0$，则方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,6)$ 内解的个数的最小值是 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 7

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇函数性质找基本零点： $\because f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数， $\therefore f(0)=0$。同时由 $f(2)=0$ 可得其关于原点对称的零点 $f(-2)=-f(2)=0$。
2. 利用周期性平移零点：已知周期 $T=3$，对于已知的任何零点 $x_0$（满足 $f(x_0)=0$），其平移一个周期后的位置 $x_0+3k$ ($k\in \mathbf{Z}$) 同样必为零点。将 $x=0,2,-2$ 分别按照周期 $\pm 3$ 进行平移。
3. 筛选区间内的解：将所有衍生出的零点列举出来，筛选出严格落在开区间 $(0,6)$ 内的零点，数出其总个数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：由函数性质确定基础零点 $\because f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，根据奇函数在原点处有定义的充要条件可得： $f(0)=0$ 又已知 $f(2)=0$，根据奇函数关于原点对称的性质 $f(-x)=-f(x)$： $f(-2)=-f(2)=0$ 由此我们得到了三个基础零点： $x=-2,0,2$。

• 第二步：利用周期性 $T=3$ 拓展现有零点 根据周期函数的性质，若 $f(x_0)=0$，则 $f(x_0+3k)=0$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

1. 由 $f(0)=0$ 衍生出的零点：
   • 当 $k=1$ 时， $x=0+3=3$，此时 $f(3)=0$；
   • 当 $k=2$ 时， $x=0+6=6$，此时 $f(6)=0$。
2. 由 $f(2)=0$ 衍生出的零点：
   • 当 $k=1$ 时， $x=2+3=5$，此时 $f(5)=0$。
3. 由 $f(-2)=0$ 衍生出的零点：

   • 当 $k=1$ 时， $x=-2+3=1$，此时 $f(1)=0$；

   • 当 $k=2$ 时， $x=-2+6=4$，此时 $f(4)=0$。

• 第三步：筛选落在区间 $(0,6)$ 内的零点个数 结合上述推导，所有可能的零点集合中，落在开区间 $(0,6)$ 内的显式零点依次为： $x=1,2,3,4,5$ (注：边界点 $x=0$ 和 $x=6$ 不在开区间 $(0,6)$ 内，应当排除。)

由此可知，满足条件的解至少有 5 个。

故 (C) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数隐含的定点结论 $f(0)=0$、周期性质的数轴离散平移。
2. 避坑指南：

• 切勿漏掉奇函数的隐藏零点 $f(0)=0$ 与由其对称产生的 $f(-2)=0$。很多考生拿到题目只抓住了 $f(2)=0⟹f(5)=0$，从而数出来只有 2 个解误选 A。在研究函数性质问题时，**“奇函数定义在 $\mathbf{R}$ 上必过原点”**是一个高频且隐蔽的得分点，务必优先写出。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将圆的方程或直线条件改变，用几何法（垂径定理、切线性质）简化运算，避免盲目联立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

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