2005-福建卷理-06 单-正弦型函数的图象与性质

本题导读

本题主要考查根据正弦型函数 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 的部分图象确定其解析式中的参数。通过图象的最高点和零点特征计算四分之一周期，进而确定 $\omega$，再通过特殊点坐标代入确定初相 $\phi$ 的取值。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 6. 若函数 $y=\sin (\omega x+\phi )$ ($x\in \mathbf{R},\omega >0,0⩽\phi <2\pi$) 的部分图象如图所示，则 ()

A. $\omega =\frac{\pi }{2},\phi =\frac{\pi }{4}$　　B. $\omega =\frac{\pi }{3},\phi =\frac{\pi }{6}$　　C. $\omega =\frac{\pi }{4},\phi =\frac{\pi }{4}$　　D. $\omega =\frac{\pi }{4},\phi =\frac{5\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定周期 $T$ 与 $\omega$：观察图象，最高点的横坐标为 $1$，紧随其后的零点（穿轴点）横坐标为 $3$。根据三角函数的几何特征，从最高点到相邻零点的水平距离等于四分之一周期 $\frac{1}{4}T$。借此求出 $T$，进而利用 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ 算出 $\omega$。
2. 确定初相 $\phi$：将最高点 $(1,1)$ 或零点 $(3,0)$ 的坐标代入已经确定 $\omega$ 的解析式中，结合 $0⩽\phi <2\pi$ 的约束条件，解出唯一的初相 $\phi$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算周期 $T$ 与参数 $\omega$ 由图象可知，函数在 $x=1$ 处取得最大值 $1$，对应的点为最高点 $(1,1)$。 随后图象单调递减，在 $x=3$ 处穿过 $x$ 轴，对应的点为零点 $(3,0)$。 根据正弦型函数的图象性质，相邻的最高点与零点之间的距离为四分之一周期： $\frac{1}{4}T=3-1=2⟹T=8$

根据周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ （其中 $\omega >0$）： $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$ 由此可排除 (A)、(B) 选项。

• 第二步：计算初相 $\phi$

• 方法一：代入最高点计算 将 $\omega =\frac{\pi }{4}$ 代入解析式得 $y=\sin \left(\frac{\pi }{4}x+\phi \right)$。 将最高点 $(1,1)$ 代入方程： $\sin \left(\frac{\pi }{4}\times 1+\phi \right)=1⟹\frac{\pi }{4}+\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$ 移项化简得： $\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$ $\because 0⩽\phi <2\pi$， $\therefore$ 取 $k=0$ 得： $\phi =\frac{\pi }{4}$

• 方法二：代入零点（减区间穿轴点）计算 将零点 $(3,0)$ 代入方程，注意该点处于单调递减阶段： $\sin \left(\frac{\pi }{4}\times 3+\phi \right)=0⟹\frac{3\pi }{4}+\phi =2k\pi +\pi (k\in \mathbf{Z})$ 移项化简得： $\phi =2k\pi +\pi -\frac{3\pi }{4}=2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$ $\because 0⩽\phi <2\pi$， $\therefore$ 取 $k=0$ 同样得到： $\phi =\frac{\pi }{4}$

综合上述， $\omega =\frac{\pi }{4}$ 且 $\phi =\frac{\pi }{4}$， (C) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数四分之一周期、二分之一周期的识别、初相多值性的区间筛选。
2. 核心方法：五点作图法。
3. 避坑指南：

• 代入零点求 $\phi$ 时务必分清“升点”还是“降点”。若代入 $(3,0)$ 时误按标准正弦原点形式列为 $\frac{3\pi }{4}+\phi =2k\pi$，则会算错成 $\phi =\frac{5\pi }{4}$ （对应错项 D）。由于图象在 $x=3$ 处是向下穿轴的，对应的是正弦曲线的 $\pi$ 位置而非 $0$ 位置，列式时必须写为 $2k\pi +\pi$。宜优先选择代入最高点或最低点求 $\phi$，因为最值点的相位表达式唯一，不易混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建卷理科数学第 6 题，考查由三角函数图象求解析式。
2. 结论推广：在正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的图象中：

• 最高点到相邻最低点的横坐标之差为 $\frac{1}{2}T$；
• 最高点到相邻零点的横坐标之差为 $\frac{1}{4}T$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)