2005-福建卷理-04 单-空间中直线与直线的位置关系

本题导读

本题主要考查立体几何中空间点、线、面的位置关系特征。通过对线面平行、线面垂直以及面面垂直等核心性质定理和判定定理的逆命题或变式命题进行辨析，重点考查空间想象能力与构造反例的能力。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 4. 已知直线 $m$、 $n$ 与平面 $\alpha ,\beta$，给出下列三个命题： ① 若 $m\parallel \alpha ,n\parallel \alpha$，则 $m\parallel n$； ② 若 $m\parallel \alpha ,n\perp \alpha$，则 $n\perp m$； ③ 若 $m\perp \alpha ,m\parallel \beta$，则 $\alpha \perp \beta$. 其中真命题的个数是 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 ①：思考平行于同一个平面的两条直线是否必须平行。可在空间中构造两条相交或异面的直线，使它们都与同一个水平面平行。
2. 分析命题 ②：利用线面平行的性质定理与线面垂直的性质进行推导。如果一条直线垂直于平面，那么它必然垂直于这个平面内或与这个平面平行的任何直线。
3. 分析命题 ③：利用面面垂直的判定定理进行推导。如果一个平面内包含的一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面互相垂直。通过平移关系将线线平行转化为线面包含。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 依次对 3 个命题进行空间几何分析与判定：

• 判定命题 ①：假命题 如果直线 $m$ 与 $n$ 都平行于平面 $\alpha$，则 $m$ 与 $n$ 的位置关系可能是平行、相交或异面。

• 反例：在长方体中，底面作为平面 $\alpha$。上底面的两条相交边（或两条对角线）都平行于底面 $\alpha$，但这两条直线彼此并不平行。 因此，命题 ① 为假命题。

• 判定命题 ②：真命题 $\because m\parallel \alpha$， $\therefore$ 根据线面平行的性质，存在过直线 $m$ 的平面与 $\alpha$ 相交于直线 $m^{\prime }$，使得 $m\parallel m^{\prime }$。 $\because n\perp \alpha$，而 $m^{\prime }$ 在平面 $\alpha$ 内， $\therefore n\perp m^{\prime }$。 $\because m\parallel m^{\prime }$ 且 $n\perp m^{\prime }$，根据空间两条平行线与第三条直线垂直的性质可得： $n\perp m$ 因此，命题 ② 为真命题。

• 判定命题 ③：真命题 $\because m\parallel \beta$， $\therefore$ 在平面 $\beta$ 内必然存在一条直线 $m^{\prime }$，使得 $m\parallel m^{\prime }$。 $\in m\perp \alpha$ 且 $m\parallel m^{\prime }$，根据两条平行线中的一条垂直于平面，另一条也垂直于该平面的基本定理可得： $m^{\prime }\perp \alpha$ $\because m^{\prime }\subset \beta$ 且 $m^{\prime }\perp \alpha$，根据面面垂直的判定定理（若一个平面包含另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直）可得： $\alpha \perp \beta$ 因此，命题 ③ 为真命题。

综上所述，真命题有 ② 和 ③，共 2 个。

故 (C) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间线线、线面、面面位置关系的逻辑判定。
2. 核心方法：长方体框架模型法、核心性质定理推导法。
3. 避坑指南：

• 巧用长方体（或教室墙面）作为几何参照物。立体几何中的概念辨析题往往比较抽象，在草稿纸上画一个标准长方体，把题目中的直线和平面分别对应为长方体的棱和面，能快速直观地判定出真伪并找出反例。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建卷理科数学第 4 题，属于高考立体几何中考查核心位置关系定理掌握熟练度的经典常规选择题。
2. 结论推广：命题 ③ 是高考中非常重要且常考的面面垂直判定变式。其基本结论可总结为：“线面垂直 + 线线平行 $⟹$ 面面垂直”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

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