2005-福建卷理-03 单-平面向量的坐标运算

本题导读

本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量垂直的充要条件。核心在于利用向量的减法运算写出直角边对应的向量坐标，再由垂直关系对应的数量积为 0 列方程求解。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 3. 在 $△ABC$ 中， $\angle C=90^{\circ }$， $\overrightarrow{AB}=(k,1)$， $\overrightarrow{AC}=(2,3)$，则 $k$ 的值是 ()

A. 5　　　　　　　B. -5　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $-\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算直角边向量：由 $\angle C=90^{\circ }$ 可知直角边对应的向量 $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$（或 $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{CB}$）。已知 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$，利用向量减法三角形法则 $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ 算出 $\overrightarrow{CB}$ 的坐标。
2. 利用垂直列方程：根据两向量垂直的充要条件，其数量积（点积）等于 0，即 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=0$，代入坐标公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 列出关于 $k$ 的一元一次方程求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： $\because$ 在 $△ABC$ 中，已知 $\overrightarrow{AB}=(k,1)$， $\overrightarrow{AC}=(2,3)$， $\therefore$ 根据平面向量的减法运算可得： $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(k-2,1-3)=(k-2,-2)$

$\because \angle C=90^{\circ }$， $\therefore \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{CB}⟹\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=0$

将两向量的坐标代入数量积公式： $2\cdot (k-2)+3\cdot (-2)=0$ $2k-4-6=0$ $2k=10⟹k=5$

故 (A) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的线性坐标运算、向量垂直的代数判别式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
2. 核心方法：坐标减法转化法。
3. 避坑指南：

• 切勿找错直角对应的向量对。题目中明确指出 $\angle C=90^{\circ }$，这意味着垂直的边是 $AC$ 和 $BC$。部分同学不画图粗心看错，直接误用 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，导致算错成 $2k+3=0⟹k=-\frac{3}{2}$ 从而错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建卷理科数学第 3 题，考查平面向量工具在三角形几何关系中的基础代数应用。
2. 结论推广：在直角三角形中，已知包含某一顶点的两条向量，求第三条向量及未知参数时，应统一化归到以该直角顶点为起点的两条直角边向量形式，直接利用内积零值求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.03 平面向量的数量积

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