2005-福建卷理-02 单-等差数列的通项公式

本题导读

本题主要考查等差数列的通项公式与等差中项性质。核心在于利用等差中项性质快速求出数列的某一项，进而结合已知条件求出公差，最终算出目标项的值。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(理)） 2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中， $a_7+a_9=16$， $a_4=1$，则 $a_{12}$ 的值是 ()

A. 15　　　　　　　B. 30　　　　　　　C. 31　　　　　　　D. 64

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量法：设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$。由 $a_7+a_9=16$ 与 $a_4=1$ 列出关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组，求出基本量后代入通项公式求 $a_{12}$。
2. 性质法（秒杀）：利用等差数列的性质 $a_7+a_9=2a_8$，可直接求出 $a_8$ 的值。再利用下角标关系 $a_{12}-a_8=a_8-a_4⟹a_{12}=2a_8-a_4$ 快速求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：等差中项性质法 $\in$ 等差数列 $\{a_n\}$ 中，由等差中项性质可得： $a_7+a_9=2a_8$ 已知 $a_7+a_9=16$， $\therefore 2a_8=16⟹a_8=8$

$\because$ 项数满足 $4+12=8+8=16$， $\therefore a_4+a_{12}=a_8+a_8=2a_8$ 将 $a_4=1$ 和 $a_8=8$ 代入上式： $1+a_{12}=2\times 8⟹a_{12}=16-1=15$ 故 (A) 选项正确。

• 方法二：基本量方程组法 设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 根据通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，由题意列方程组： $\{\begin{array}{l}(a_1+6d)+(a_1+8d)=16\\ a_1+3d=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2a_1+14d=16\\ a_1+3d=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}_1+7d=8\\ a_1+3d=1\end{array}$ 两式相减得： $4d=7⟹d=\frac{7}{4}$ 代入 $a_1+3d=1$ 得： $a_1=1-3\times \frac{7}{4}=1-\frac{21}{4}=-\frac{17}{4}$

则目标项 $a_{12}$ 的值为： $a_{12}=a_1+11d=-\frac{17}{4}+11\times \frac{7}{4}=\frac{-17+77}{4}=\frac{60}{4}=15$ 故 (A) 选项正确。

综合上述， (A) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项性质 $a_m+a_n=a_p+a_q$ （当 $m+n=p+q$ 时）。
2. 核心方法：下角标等和性质化简法。
3. 避坑指南：

• 巧用数列性质可避免繁琐的分数计算。如方法二使用基本量法会引入分母为 4 的分数运算，稍有不慎易在通分时算错。高考选择题中优先选用下角标性质法，省时且准确率高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年福建卷理科数学第 2 题，考查等差数列基本性质的灵活运用。
2. 结论推广：在等差数列中，任意三个项数成等差数列的项也构成等差数列。本题中 $a_4,a_8,a_{12}$ 的项数差均为 4，因此 $a_4,a_8,a_{12}$ 成等差数列，直接满足 $a_{12}-a_8=a_8-a_4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

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