2005-福建卷文-21 解-线面垂直二面角与距离

本题导读

本题考查线面垂直的判定与二面角、点到平面的距离。核心在于综合运用判定定理与空间向量法。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 如图，直二面角 $D-AB-E$ 中，四边形 $ABCD$ 是边长为 2 的正方形，$AE=EB$，$F$ 为 $CE$ 上的点，且 $BF\perp$ 平面 $ACE$．

(1) 求证：$AE\perp$ 平面 $BCE$；

(2) 求二面角 $B-AC-E$ 的大小；

(3) 求点 $D$ 到平面 $ACE$ 的距离． （图见配图）

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 用 $BF\perp AE$ 与 $CB\perp AE$。
2. (2)(3) 建系：由 $AE=EB$ 且 $AE\perp BE$ 定 $E$ 坐标。
3. 法向量求二面角与距离。

✅【答案】

Success

(1) 见解析；

(2) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$；

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $BF\perp$ 平面 $ACE$，$AE\subset$ 平面 $ACE$，所以 $BF\perp AE$．又直二面角 $D-AB-E$ 中平面 $ABCD\perp$ 平面 $ABE$，交线为 $AB$，$CB\subset$ 平面 $ABCD$ 且 $CB\perp AB$，由面面垂直的性质定理得 $CB\perp$ 平面 $ABE$，所以 $CB\perp AE$．又 $BF\subset$ 平面 $BCE$，$CB\subset$ 平面 $BCE$，$BF\cap CB=B$，故 $AE\perp$ 平面 $BCE$． (2)(3) 由 (1) 知 $AE\perp BE$，又 $AE=EB$，$AB=2$，故 $△ABE$ 为等腰直角三角形，$AE=BE=\sqrt{2}$．建系：以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AE$ 所在方向分别为 $x$、$z$、$y$ 轴正向，则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,0,2)$，$D(0,0,2)$，$E(1,1,0)$． (2) 平面 $ABC$ 即 $y=0$，一个法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(0,1,0)$；平面 $ACE$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AE}=(-2,2,2)$．故 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，二面角 $B-AC-E$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$． (3) 平面 $ACE$ 过原点且法向量为 $(-2,2,2)$，方程为 $-x+y+z=0$（过 $E(1,1,0)$、$C(2,0,2)$ 检验成立），点 $D(0,0,2)$ 到平面 $ACE$ 的距离为 $\frac{|2|}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$． 注：距离也可用等体积法：$V_{D-ACE}=V_{E-ACD}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times 2\times 1=\frac{2}{3}$，$S_{△ACE}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AE}|=\sqrt{3}$，$h=\frac{3V}{S}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直二面角与距离

核心方法：判定定理证线面垂直，建系用法向量求角与距离

避坑指南：法向量夹角与二面角可能互补，应结合图形确认取锐角；点面距离公式分母是法向量的模，漏开方就错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何

结论推广：线面垂直判定定理”两相交线”缺一不可；二面角与点面距离在建系后统一为法向量运算

方法推广：几何法证垂直 + 向量法算角与距离的”混合流水线”是立体几何解答题的高效范式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-19 解-立几综合
• 2018-全国卷I理-18 解-面面垂直
• 2018-全国卷II理-20 解-线面垂直