2005-福建卷文-15 填-退化可行域的最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的可行域，以及非负约束下最值的求法。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 非负实数 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}2x+y⩽0,\\ x+y-3⩽0,\end{array}$ 则 $x+3y$ 的最大值为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x,y⩾0\Rightarrow 2x+y⩾0$。
2. 与 $2x+y⩽0$ 联立只有 $x=y=0$。
3. 代入求 $x+3y$。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x$，$y$ 为非负实数，且 $2x+y⩽0$，而 $x⩾0$，$y⩾0$ 时必有 $2x+y⩾0$，两者同时成立只能 $2x+y=0$，即 $x=y=0$．此时第二个不等式也成立，且 $x+3y=0$．故最大值为 $0$． 注：部分网络版参考答案印 $9$，系忽略”非负实数”约束所致，按答案册与复算录 $0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：退化可行域的最值

核心方法：非负约束与 $2x+y⩽0$ 联立，可行域退化为原点

避坑指南：按常规线性规划画角会找不到界——本题可行域只有一点，“最大值”即 $0$；若忽略非负条件按无约束理解会得出 $9$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 二元一次不等式组与线性规划

结论推广：可行域可能退化为单点甚至空集；目标函数最值在退化点处直接读出

方法推广：线性规划题动笔前先检查约束是否相容——非负约束与反向不等式联立常常清空可行域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2018-全国卷III文-15 填-线性规划