2005-福建卷文-14 填-向量垂直与解三角形

本题导读

本题考查平面向量垂直的条件，以及直角三角形中的向量运算。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$\overrightarrow{AB}=(k,1)$，$\overrightarrow{AC}=(2,3)$，则 $k$ 的值是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\angle C=90^{\circ }\Rightarrow \overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$。
2. 用 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ 表 $\overrightarrow{CB}$。
3. 数量积为零解 $k$。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\angle C=90^{\circ }$，有 $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$．又 $\overrightarrow{CA}=(-2,-3)$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(k-2,-2)$，因此 $(-2,-3)\cdot (k-2,-2)=-2k+10=0$，解得 $k=5$． 注：部分网络版参考答案印 $-\frac{3}{2}$，系向量终点起点取反所致，按答案册与复算录 $5$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与解三角形

核心方法：直角 $\Rightarrow \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$，用减法表 $\overrightarrow{CB}$

避坑指南：$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ 方向别写反；两个向量必须同起点或同终点再作差

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 平面向量

结论推广：$\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$；$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

方法推广：解三角形中的垂直条件用数量积实现”角化方程”，坐标法是通用载体

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2020-新课标I文-14 填-向量垂直
• 2006-全国卷II理-14 填-三角形中线的向量性质与数量公式
• 1992-全国卷理-14 单-异面直线所成的角