2005-福建卷文-09 单-双曲线型的距离最值

本题导读

本题考查含绝对值差的距离最值问题，以及三角形不等式的放缩应用。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 已知定点 $A$、$B$ 且 $|AB|=4$，动点 $P$ 满足 $|PA|-|PB|=3$，则 $|PA|$ 的最小值是()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\frac{7}{2}$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $|PA|=r$，则 $|PB|=r-3$。
2. 用 $|PA|+|PB|⩾|AB|=4$。
3. 解出 $r$ 的下界并验证可取。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由三角不等式，$|PA|+|PB|⩾|AB|=4$．设 $|PA|=r$，由题设 $|PB|=r-3$，所以 $2r-3⩾4$，即 $r⩾\frac{7}{2}$．当 $P$ 在线段 $AB$ 上且 $|PA|=\frac{7}{2}$、$|PB|=\frac{1}{2}$ 时，$|PA|-|PB|=3$，下界可以取得．因此 $|PA|$ 的最小值为 $\frac{7}{2}$，选 C． 注：从轨迹视角看，$|PA|-|PB|=3$（$|AB|=4$）是以 $A$、$B$ 为焦点的双曲线一支，$2a=3$，$2c=4$，顶点恰在线段 $AB$ 上距 $A$ 为 $c+a=\frac{7}{2}$ 处，两法一致．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线型的距离最值

核心方法：设 $|PA|=r$ 用三角不等式 $2r-3⩾4$

避坑指南：$|PA|-|PB|=3>0$ 说明 $P$ 靠近 $B$；等号在 $P$ 落在线段 $AB$ 上时取得，不要误以为下界取不到

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 圆锥曲线（双曲线定义）

结论推广：轨迹 $|PA|-|PB|=3$（$|AB|=4$）是以 $A,B$ 为焦点的双曲线一支，顶点处 $|PA|=c+a=\frac{7}{2}$

方法推广：凡”距离差为定值”的最值，三角形不等式给出下界、顶点位置给出可取性，两条思路殊途同归

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-09 单-双曲线定义与性质
• 2010-大纲卷II理-09 单-立体几何
• 2008-大纲卷II理-09 单-双曲线