2005-湖南卷理-17 解-面面垂直的性质

本题导读

本题考查空间图形折叠问题。核心考查意图是利用面面垂直建立空间直角坐标系，通过向量的数量积证明线线垂直，并利用平面法向量的夹角求解二面角。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 如图 1，已知 $ABCD$ 是上、下底边长分别为 2 和 6，高为 $\sqrt{3}$ 的等腰梯形，将它沿对称轴 $O{O}_1$ 折成直二面角，如图 .

(1) 证明：$AC\perp B{O}_1$；

(2) 求二面角 $O-AC-O_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：由对称轴性质知 $O{O}_1\perp AB$。折成直二面角后， $OA,OB,O{O}_1$ 两两垂直，可以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系。
2. 确定各点坐标：根据梯形几何尺寸算出 $OA,OB,O{O}_1,O_{1}C$ 的长度，进而写出 $A,B,C,O_1$ 的坐标。
3. 向量法求解：第 (1) 问计算 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{O}_1}=0$ 证垂直；第 (2) 问分别求出平面 $OAC$ 和平面 $O_{1}AC$ 的法向量，利用向量夹角公式计算二面角。

✅【答案】

Success

建立空间直角坐标系，使折痕OO1为z轴，取

✍【详细解析】

Abstract

在等腰梯形 $ABCD$ 中， $O{O}_1$ 为对称轴， $AB=6,CD=2$，高 $O{O}_1=\sqrt{3}$， 则 $O_1$ 为 $CD$ 中点， $O$ 为 $AB$ 中点，且 $O{O}_1\perp AB$。 折叠后，平面 $AO{O}_{1}D\perp$ 平面 $BO{O}_{1}C$，交线为 $O{O}_1$。 因为 $AO\perp O{O}_1$， $BO\perp O{O}_1$， 所以 $OA,OB,O{O}_1$ 两两垂直。 以 $O$ 为原点，射线 $OA,OB,O{O}_1$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。 由已知得： $OA=3,OB=3,O{O}_1=\sqrt{3},O_{1}C=1$。 故相关各点坐标为： $O(0,0,0)$, $A(3,0,0)$, $B(0,3,0)$, $O_1(0,0,\sqrt{3})$, $C(0,1,\sqrt{3})$。

(1) 证明： $AC\perp B{O}_1$ 由坐标可得： $\overrightarrow{AC}=(0,1,\sqrt{3})-(3,0,0)=(-3,1,\sqrt{3})$ $\overrightarrow{B{O}_1}=(0,0,\sqrt{3})-(0,3,0)=(0,-3,\sqrt{3})$ 计算两向量的数量积： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{O}_1}=(-3)\times 0+1\times (-3)+\sqrt{3}\times \sqrt{3}=-3+3=0$ 所以 $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{B{O}_1}$，即 $AC\perp B{O}_1$。

(2) 求二面角 $O-AC-O_1$ 的大小 设平面 $OAC$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$。 因为 $\overrightarrow{OA}=(3,0,0)$, $\overrightarrow{OC}=(0,1,\sqrt{3})$， 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{OA}=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{OC}=0\end{array}$ 得： $\{\begin{array}{l}3x_1=0\\ y_1+\sqrt{3}{z}_1=0\end{array}$ 令 $z_1=1$，解得 $x_1=0,y_1=-\sqrt{3}$，则 $\overrightarrow{n_1}=(0,-\sqrt{3},1)$。

设平面 $O_{1}AC$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$。 因为 $\overrightarrow{O_{1}C}=(0,1,0)$, $\overrightarrow{O_{1}A}=(3,0,-\sqrt{3})$， 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{O_{1}C}=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{O_{1}A}=0\end{array}$ 得： $\{\begin{array}{l}{y}_2=0\\ 3x_2-\sqrt{3}{z}_2=0\end{array}$ 令 $x_2=1$，解得 $y_2=0,z_2=\sqrt{3}$，则 $\overrightarrow{n_2}=(1,0,\sqrt{3})$。

设二面角 $O-AC-O_1$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0\times 1+(-\sqrt{3})\times 0+1\times \sqrt{3}|}{\sqrt{0+3+1}\times \sqrt{1+0+3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\times 2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 所以二面角 $O-AC-O_1$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：图形折叠前后的“变”与“不变”性质，利用法向量夹角公式求解二面角。
2. 核心方法：建系坐标法。通过寻找两两垂直的直线（如本题中的 $OA,OB,O{O}_1$）高效建立空间直角坐标系。
3. 避坑指南：写 $C$ 点坐标时极易出错。需明确 $C$ 点在平面 $BO{O}_{1}C$ 内，其横坐标为 $0$，纵坐标等于原梯形中 $O_{1}C$ 的长度（即 1），而不是 $BC$ 边的投影。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由传统的翻折问题发展而来的立体几何标准大题。通过将经典的二面角计算与性质证明相结合，全面考查了逻辑推导以及基于向量的空间量化计算能力。
2. 结论推广：若直二面角 $\alpha -l-\beta$ 中，线段 $OA\subset \alpha$ 且 $OA\perp l$，线段 $OB\subset \beta$ 且 $OB\perp l$。过 $O$ 作 $l$ 的垂线线段 $O{O}_1$，若在 $\alpha ,\beta$ 内分别存在 $O_{1}D\parallel OA$, $O_{1}C\parallel OB$，则由该构型引出的任意交叉线段（如 $AC$ 与 $B{O}_1$）的垂直关系完全可通过其对应的坐标向量投影是否为 0 进行普适性判定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)