2005-湖南卷理-14 填-函数的中心对称性

本题导读

本题考查函数的中心对称性与反函数概念的综合应用。核心意图是利用图形的中心对称特征求出函数在特定自变量下的值，再通过反函数的定义完成对应规律的转化。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 设函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称，且存在反函数 $f^{-1}(x)$， $f(4)=0$，则 $f^{-1}(4)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化对称性条件：由图象关于点 $(1,2)$ 对称，可写出代数关系式 $f(x)+f(2-x)=4$。
2. 求解对应函数值：将已知条件 $f(4)=0$ 代入对称关系式，求出使其函数值为 $4$ 的自变量值。
3. 利用反函数定义转化：根据 $f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$ 导出最终结果。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称， 根据中心对称的代数特征，有： $f(x)+f(2\times 1-x)=2\times 2⟹f(x)+f(2-x)=4$ 令 $x=4$，代入上式得： $f(4)+f(2-4)=4⟹f(4)+f(-2)=4$ 又因为已知 $f(4)=0$， 所以 $0+f(-2)=4⟹f(-2)=4$。 因为函数 $f(x)$ 存在反函数 $f^{-1}(x)$， 根据反函数的定义，由 $f(-2)=4$ 可得： $f^{-1}(4)=-2$ 答案：$-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象关于点 $(a,b)$ 中心对称的充要条件是 $f(x)+f(2a-x)=2b$，以及反函数的自变量与因变量互换性。
2. 核心方法：点代入法与互逆映射转化。也可以利用几何直观：点 $(4,0)$ 关于 $(1,2)$ 的对称点为 $(-2,4)$，故 $(-2,4)$ 在 $y=f(x)$ 图象上。
3. 避坑指南：容易混淆中心对称公式中的自变量转化，错把 $f(2-x)$ 写成 $f(1-x)$ 或 $f(-x)$；此外，需准确理解反函数的定义，切勿将 $f^{-1}(4)$ 误认为是 $[f(4){]}^{-1}$ 或分式倒数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中函数基本性质（对称性）与反函数基础定义的交汇，是高考中考查函数概念全面性的经典小题。
2. 结论推广：若函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(a,b)$ 中心对称且存在反函数 $f^{-1}(x)$，已知 $f(x_0)=y_0$，则必有通用结论：$f^{-1}(2b-y_0)=2a-x_0$。本题中 $a=1,b=2,x_0=4,y_0=0$，代入推广公式直接得 $f^{-1}(4-0)=2-4=-2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

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