2005-湖南卷理-12 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的综合应用。核心意图是考查学生求解多项式展开式中特定项系数的能力，可通过逐项提取组合数求和或利用等比数列求和公式整体化简求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)）在 $(1 + x) + (1 + x)^{2} + \dots + (1 + x)^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数是. (用数字作答)

🔍【思路分析】

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方法一（分项提取）：观察各项可知，从 $(1 + x)^{2}$ 开始后的每一项都含有 $x^{2}$ 项。利用二项式定理通项公式分别提取各因式的 $x^{2}$ 项系数，最后求和。

方法二（整式化简）：将原多项式视为以 $(1 + x)$ 为首项和公比的等比数列的前 6 项和，利用等比数列求和公式将其化简为单项分式，再求解对应项系数。

✅【答案】

Success

35

✍【详细解析】

Abstract

方法一：分项提取法 原多项式中，含有 $x^{2}$ 的项分别来自于 $(1 + x)^{2}, (1 + x)^{3}, \dots, (1 + x)^{6}$ 。各因式展开式中 $x^{2}$ 的系数依次为： $(2 2), (2 3), (2 4), (2 5), (2 6)$ 故 $x^{2}$ 的总系数为： $(2 2) + (2 3) + (2 4) + (2 5) + (2 6) = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35$

方法二：公式求和转化法 原式可视为首项为 $1 + x$ ，公比为 $1 + x$ 的等比数列前 6 项和。利用求和公式化简得： $S = \frac{( 1 + x ) [( 1 + x ) ^{6} - 1 ]}{( 1 + x ) - 1} = \frac{( 1 + x ) ^{7} - ( 1 + x )}{x}$ 要求 $S$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数，等价于求分子 $(1 + x)^{7} - (1 + x)$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数。在 $(1 + x)^{7}$ 展开式中， $x^{3}$ 的系数为： $(3 7) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 答案：35

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r + 1} = (r n) a^{n - r} b^{r}$ 及组合数计算。

核心方法：利用杨辉三角的组合数性质 $(m n) + (m + 1 n) = (m + 1 n + 1)$ 进行多项求和，或利用等比级数求和结构降维。

避坑指南：使用方法二时，由于分母含有自变量 $x$ ，会使整体次数降低 1 次。因此在寻找原式 $x^{2}$ 的系数时，必须在分子中寻找 $x^{3}$ 的系数，谨防混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自教材中二项式定理与等比数列求和的经典交汇习题，属于考查多项式系数的常规题型。

结论推广：对于多项式和 $\sum_{k = m}^{n} (1 + x)^{k}$ ，其 $x^{m}$ 项的系数可直接推广为组合数恒等式： $\sum_{k = m}^{n} (m k) = (m + 1 n + 1)$ 。本题即为 $m = 2, n = 6$ 时的具体应用，即 $(2 + 1 6 + 1) = (3 7) = 35$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

22.03 二项式定理全总结

19.02 等比数列全总结

22.01 计数原理、排列与组合

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2005-湖南卷理-12 填-二项式定理

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