2005-湖南卷理-10 单-三角形的重心性质

本题导读

本题是一道新定义位置判定题，以面积比（即面积坐标）为背景。核心考查意图是利用三角形重心的面积三等分性质作为临界标准，通过比较各分量的大小关系来判定点所在的区域。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 设 $P$ 是 $△ABC$ 内任意一点，$S_{△ABC}$ 表示 $△ABC$ 的面积，${\lambda }_1=\frac{S_{△PBC}}{S_{△ABC}}$，${\lambda }_2=\frac{S_{△PCA}}{S_{△ABC}}$，${\lambda }_3=\frac{S_{△PAB}}{S_{△ABC}}$，定义 $f(P)=({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$，若 $G$ 是 $△ABC$ 的重心，$f(Q)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$，则()

A. 点 $Q$ 在 $△GAB$ 内　　　　　　　　　　　　B. 点 $Q$ 在 $△GBC$ 内

C. 点 $Q$ 在 $△GCA$ 内　　　　　　　　　　　　D. 点 $Q$ 与点 $G$ 重合

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定临界点 $G$ 的坐标：利用重心性质可知 $G$ 将整个三角形面积三等分，得出 $f(G)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$。
2. 明确区域的代数特征：连接 $AG,BG,CG$ 将 $△ABC$ 分为三个子三角形，分析点在不同子三角形内部时 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 的大小特征。
3. 比较大小得出结论：比对 $Q$ 点的三个分量，找出最大值对应的边，从而确定其所属的几何区域。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据重心坐标的定义，${\lambda }_1=\frac{S_{△PBC}}{S_{△ABC}}$，${\lambda }_2=\frac{S_{△PCA}}{S_{△ABC}}$，${\lambda }_3=\frac{S_{△PAB}}{S_{△ABC}}$，且点 $P$ 可表示为 $P={\lambda }_{1}A+{\lambda }_{2}B+{\lambda }_{3}C$（坐标按对应顶点 $A,B,C$ 的权重）。 已知 $f(Q)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$，即 $Q=\frac{1}{2}A+\frac{1}{3}B+\frac{1}{6}C$ 建立平面直角坐标系，取 $A(0,0),B(1,0),C(0,1)$，则 $Q=\frac{1}{2}(0,0)+\frac{1}{3}(1,0)+\frac{1}{6}(0,1)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$ $△ABC$ 的重心为 $G=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$。 将 $Q$ 用 $A,B,G$ 三点表示：设 $Q=\alpha A+\beta B+\gamma G$，代入坐标比较： $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)=\alpha (0,0)+\beta (1,0)+\gamma \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ 比较纵坐标得 $\frac{1}{6}=\frac{\gamma }{3}⟹\gamma =\frac{1}{2}$；比较横坐标得 $\frac{1}{3}=\beta +\frac{\gamma }{3}=\beta +\frac{1}{6}⟹\beta =\frac{1}{6}$；再由 $\alpha +\beta +\gamma =1$ 得 $\alpha =\frac{1}{3}$。 即 $Q=\frac{1}{3}A+\frac{1}{6}B+\frac{1}{2}G$，三个系数均非负且和为 $1$，故点 $Q$ 位于 $△GAB$ 内部。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：重心间接控制的面积特征，以及利用多维变量大小关系锁定平面区域。
2. 核心方法：面积坐标法。在 $△ABC$ 内，任意一点的面积坐标 $({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ 满足 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1$，且某分量最大则意味着该点在空间位置上最靠近该分量对应的对边。
3. 避坑指南：避免去进行复杂的坐标建系计算。通过分界线 $AG$（满足 ${\lambda }_2={\lambda }_3$）、$BG$（满足 ${\lambda }_1={\lambda }_3$）、$CG$（满足 ${\lambda }_1={\lambda }_2$）的几何直观判定可直接得出答案，建系反而容易因运算量过大导致失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有仿射几何中“重心坐标（Barycentric Coordinates）”的高等数学背景。命题者将其包装为高中阶段的“新定义”型面积比问题，用以考查学生在面对陌生定义时快速抽取数学本质并进行局部定量分析的能力。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若 $f(P)=({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$，则向量关系恒满足 $\overrightarrow{OP}={\lambda }_1\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+{\lambda }_2\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+{\lambda }_3\overrightarrow{O{C}^{\prime }}$（其中 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ 为对应顶点的映射或直接写作 $\overrightarrow{P}={\lambda }_1\overrightarrow{A}+{\lambda }_2\overrightarrow{B}+{\lambda }_3\overrightarrow{C}$）。该坐标系下，重心的坐标恒为 $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，且三个中线所夹区域的内部可完全由三个坐标分量的大小不等式组所刻画。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.07 三角形五心与奔驰定理
• 09.03 平面向量的数量积
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷理-05 单-三角
• 2002-北京卷理-21 解-三角形的五心坐标公式