2005-湖南卷理-06 单-导数的概念与计算

本题导读

本题考查正弦、余弦函数导数的计算及其高阶导数的周期性规律。核心意图是通过前几项导数的规律性变化，归纳出通项的周期，再利用余数确定目标高阶导数的表达式。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 设 $f_0(x)=\sin x,f_1(x)=f_0^{\prime }(x),f_2(x)=f_1^{\prime }(x),\dots ,f_{n+1}(x)=f_n^{\prime }(x),n\in \mathbf{N}$，则 $f_{2005}(x)=$()

A. $\sin x$　　　　　　　B. $-\sin x$　　　　　　　C. $\cos x$　　　　　　　D. $-\cos x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依次求出 $f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x)$ 的表达式。
2. 观察求导结果，归纳出该函数序列变化具有周期性，并确定其最小正周期。
3. 计算对应下标 $2005$ 除以周期的余数，从而确定 $f_{2005}(x)$ 的值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由题意，对函数依次求导可得： $f_1(x)=(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ $f_2(x)=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ $f_3(x)=(-\sin x{)}^{\prime }=-\cos x$ $f_4(x)=(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x=f_0(x)$ 由此可知，函数序列 $f_n(x)$ 的表达式以 $4$ 为周期循环出现。 因为 $2005=4\times 501+1$， 所以 $f_{2005}(x)=f_1(x)=\cos x$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数的求导公式及三角函数高阶导数的循环特性。
2. 核心方法：由特殊到一般的归纳推理法，利用周期性进行大数化简。
3. 避坑指南：解题时需精准对应导数阶数与函数下标。本题中 $f_1(x)$ 表示一阶导数，下标与导数阶数一致，若错把 $f_0(x)$ 当作一阶导数则会导致余数对应错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高等数学中导数通项公式 $\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}(\sin x)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$ 在高考阶段的特征延伸，侧重考查考生的逻辑观察能力与递推思维。
2. 结论推广：若 $f(x)=\sin x$，则其 $n$ 阶导数恒有 $f^{(n)}(x)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$；同理，若 $f(x)=\cos x$，其 $n$ 阶导数恒有 $f^{(n)}(x)=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$。两者的导数序列均呈以 $4$ 为最小正周期的周期性变化。

🔗【关联脉络】

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• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

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