2005-湖南卷理-05 单-点到平面的距离

本题导读

本题考查立体几何中点到平面距离的求解。核心意图是利用正方体的对称性与线面位置关系，将待求点到平面的距离转化为已知顶点到平面的距离，利用比例关系简化计算。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 1， $O$ 是底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的中心，则 $O$ 到平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的距离为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定位置关系：点 $O$ 是对角线 $A_1{C}_1$ 的中点，且点 $C_1$ 在平面 $AB{C}_1{D}_1$ 内。
2. 利用比例转化：根据线段比例关系，点 $O$ 到平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的距离等于点 $A_1$ 到该平面距离的 $\frac{1}{2}$。
3. 求解顶点距离：证明平面 $AB{C}_1{D}_1\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$，将点 $A_1$ 到平面的距离转化为正方形 $AD{D}_1{A}_1$ 内点 $A_1$ 到对角线 $A{D}_1$ 的距离。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $O$ 是底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的中心， 所以 $O$ 为对角线 $A_1{C}_1$ 的中点。 又因为点 $C_1$ 在平面 $AB{C}_1{D}_1$ 内， 所以点 $O$ 到平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的距离等于点 $A_1$ 到平面 $AB{C}_1{D}_1$ 距离的 $\frac{1}{2}$。 因为 $AB\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$，且 $AB\subset$ 平面 $AB{C}_1{D}_1$， 所以平面 $AB{C}_1{D}_1\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$，两平面交线为 $A{D}_1$。 在正方形 $AD{D}_1{A}_1$ 中，过点 $A_1$ 作 $A_{1}H\perp A{D}_1$ 于 $H$，则 $A_{1}H$ 的长度即为点 $A_1$ 到平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的距离。 因为正方体棱长为 1， 所以 $A_{1}H=\frac{1}{2}{A}_{1}D=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 因此，点 $O$ 到平面 $AB{C}_1{D}_1$ 的距离为： $d=\frac{1}{2}{A}_{1}H=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何中点面距离的度量，面面垂直的判定与性质。
2. 核心方法：相似比距离转化法。若直线与平面相交，线上两点到该平面的距离之比等于这两点到交点距离之比。
3. 避坑指南：本题若建立空间直角坐标系使用向量法求解，虽思路常规但计算量较大，易在求法向量或坐标代入时出错。应优先观察图形的对称性与中点特征进行几何转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题取材于教材中空间点面距离与正方体截面性质的常规练习题，命题者通过选择特殊点（底面中心）隐蔽了直接作垂线的路径，侧重考查空间想象能力与逻辑转化能力。
2. 结论推广：在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，上底面中心 $O$ 与下底面中心 $O^{\prime }$ 到对角面 $AB{C}_1{D}_1$ 的距离均恒为 $\frac{\sqrt{2}}{4}a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.04 空间向量求距离
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)