2005-湖南卷理-04 单-二元一次不等式组与平面区域

本题导读

本题考查二元线性规划问题。核心意图是利用图解法确定平面可行域，并通过平移目标函数直线求得代数式的取值范围。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 已知点 $P(x,y)$ 在不等式组 $\{\begin{array}{l}x-2\le 0\\ y-1\le 0\\ x+2y-2\ge 0\end{array}$ 表示的平面区域上运动，则 $z=x-y$ 的取值范围是()

A. $[-2,-1]$　　　B. $[-2,1]$　　　C. $[-1,2]$　　　D. $[1,2]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作出不等式组表示的平面可行域，并求解可行域的各顶点坐标。
2. 将目标函数 $z=x-y$ 转化为斜截式直线方程 $y=x-z$，明确其几何意义为斜率为 $1$、纵截距为 $-z$ 的平行直线族。
3. 通过平移直线，观察其在可行域边界顶点处的纵截距变化，从而确定 $z$ 的最大值与最小值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由不等式组 $\{\begin{array}{l}x-2\le 0\\ y-1\le 0\\ x+2y-2\ge 0\end{array}$ 绘制出平面可行域，该区域为一个三角形，其三个顶点通过两两联立边界方程求得： $A(2,1)$， $B(0,1)$， $C(2,0)$。 将目标函数变形为直线的斜截式方程： $y=x-z$ 此时直线的纵截距为 $-z$。 当直线 $y=x-z$ 经过顶点 $B(0,1)$ 时，纵截距 $-z$ 取得最大值，此时 $z$ 取得最小值： $z_{\min }=0-1=-1$ 当直线 $y=x-z$ 经过顶点 $C(2,0)$ 时，纵截距 $-z$ 取得最小值，此时 $z$ 取得最大值： $z_{\max }=2-0=2$ 因此，$z$ 的取值范围是 $[-1,2]$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域及线性目标函数的最值。
2. 核心方法：数形结合的图解法，即“画、移、求、答”四步法。
3. 避坑指南：变形目标函数时，务必注意 $y$ 的系数符号。在 $y=x-z$ 中，$z$ 的符号为负，因此 $y$ 轴截距最大时 $z$ 最小，截距最小时 $z$ 最大，谨防颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中线性规划的基本应用题，主要考查有界凸多边形区域内目标函数的极值分布规律。
2. 结论推广：若线性规划的可行域为有界凸多边形，则线性目标函数 $z=Ax+By+C$ 的最值必在多边形的顶点或边界处取得。若目标函数推广为非线性形式，如分式 $z=\frac{y-b}{x-a}$ 或二次式 $z=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$，其几何意义则分别转化为可行域内的点与定点连线的斜率或距离的平方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)