2005-湖南卷理-02 单-虚数单位的幂运算

本题导读

本题考查复数的基本运算以及虚数单位 $\text{i}$ 的幂的周期性，属于全卷的开篇基础题，核心意图是考查考生的基本运算素养。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(理)） 复数 $z=\text{i}+{\text{i}}^2+{\text{i}}^3+{\text{i}}^4$ 的值是()

A. -1　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. i

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依次计算虚数单位 $\text{i}$ 的各阶低次幂对应的值。
2. 将结果代入代数式中求和，消去互为相反数的项即可。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由虚数单位 $\text{i}$ 的性质与运算定义可知： ${\text{i}}^1=\text{i}$， ${\text{i}}^2=-1$， ${\text{i}}^3=-\text{i}$， ${\text{i}}^4=1$。 将其代入原式得： $z=\text{i}+(-1)+(-\text{i})+1=0$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $\text{i}$ 的幂的周期性。
2. 核心方法：熟记 $\text{i}$ 的前四次幂值，并灵活运用任意连续四个整数幂之和为 $0$ 的特性。
3. 避坑指南：计算中需精准掌握 ${\text{i}}^2=-1$ 与 ${\text{i}}^3=-\text{i}$ 的符号，避免由于粗心导致符号混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题直接取材于高中数学教材中复数代数运算的例题与课后基础习题，考查最本质的代数运算规则。
2. 结论推广：虚数单位 $\text{i}$ 的幂具有以 $4$ 为周期的任意连续四个整数幂之和为 $0$ 的性质，即 ${\text{i}}^n+{\text{i}}^{n+1}+{\text{i}}^{n+2}+{\text{i}}^{n+3}=0$（$n\in \mathbf{Z}$）。由此可将长求和式 ${\sum }_{k=1}^m{\text{i}}^k$ 简化为 ${\sum }_{k=1}^{m\mathrm{mod}4}{\text{i}}^k$。

🔗【关联脉络】

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