2005-湖南卷文-18 解-平面图形折叠成直二面角

本题导读

本题考查平面图形折叠成直二面角后的空间向量综合应用。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 如图 1，已知 $ABCD$ 是上、下底边长分别为 2 和 6，高为 $\sqrt{3}$ 的等腰梯形，将它沿对称轴 $O{O}_1$ 折成直二面角，如图 2．

(1)证明：$AC\perp B{O}_1$；

(2)求二面角 $O-AC-O_1$ 的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取折痕 $O{O}_1$ 为 $y$ 轴建系，折前长度保持：$O(0,0,0)$、$O_1(0,\sqrt{3},0)$、$A(-3,0,0)$、$D(-1,\sqrt{3},0)$、$B(0,0,3)$、$C(0,\sqrt{3},1)$。
2. $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{O}_1}=0$ 证垂直。
3. 两平面法向量夹角求二面角。

✅【答案】

Success

折叠后建立直角坐标系，取折痕OO1为y轴，使O(0,0,0),O1(0,√3,0),A(−3,0,0),

✍【详细解析】

Abstract

折叠后建立直角坐标系，取折痕 $O{O}_1$ 为 $y$ 轴，使 $O(0,0,0)$，$O_1(0,\sqrt{3},0)$，$A(-3,0,0)$，$D(-1,\sqrt{3},0)$，$B(0,0,3)$，$C(0,\sqrt{3},1)$，其中左、右两半分别位于两个互相垂直的平面内，且这些坐标保持了折叠前各边的长度． （1）由坐标得 $\overrightarrow{AC}=(3,\sqrt{3},1)$，$\overrightarrow{B{O}_1}=(0,\sqrt{3},-3)$，$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{O}_1}=0+3-3=0$，故 $AC\perp B{O}_1$． （2）平面 $OAC$ 和平面 $O_{1}AC$ 的法向量分别为 $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{AC}=(0,-3,3\sqrt{3})$，$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{A{O}_1}\times \overrightarrow{AC}=(\sqrt{3},-3,0)$．设二面角 $O-AC-O_1$ 的大小为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{9}{6\times 2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，所以二面角 $O-AC-O_1$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面图形折叠成直二面角

核心方法：建系 $O$ 原点 $O{O}_1$ 为 $y$ 轴，$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{O}_1}=0$ 证垂直；法向量夹角得 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{4}$

避坑指南：折叠问题关键是”折前长度保持”：$OB=3$、$OC=1$、$OA=3$ 分居两垂直半平面——坐标 $(\pm 3,0,0)$ 与 $(0,\sqrt{3},1)$ 别混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何折叠

结论推广：$\overrightarrow{AC}=(3,\sqrt{3},1)$，$\overrightarrow{B{O}_1}=(0,\sqrt{3},-3)$，点积 0；二面角 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{4}$

方法推广：折叠问题：折痕两侧坐标分平面设；直二面角即两半平面法向量互相垂直——图形对称省去讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

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