2005-湖南卷文-12 填-分层抽样与等差中项

本题导读

本题考查分层抽样中等差数列条件的转化。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 一工厂生产了某种产品 $16800$ 件，它们来自甲、乙、丙 $3$ 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了$\underline{}$件产品．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分层抽样中各层抽取数之比等于各层个体数之比。
2. 抽取数成等差 $\Rightarrow$ 产量成等差。
3. 等差中项 $=$ 总数的三分之一。

✅【答案】

Success

$5600$

✍【详细解析】

Abstract

分层抽样按同一比例抽取，故甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数之比等于三条生产线产量之比．由抽取数成等差数列，知三条生产线的产量也成等差数列．设产量分别为 $x-d$、$x$、$x+d$，则 $(x-d)+x+(x+d)=3x=16800$，解得 $x=5600$．故乙生产线生产了 $5600$ 件产品．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样与等差中项

核心方法：三线抽取数等差 $\Rightarrow$ 比例 $1:2:3$（和 10 人三段成等差时公差 $=$ 中项），$16800\times \frac{2}{6}=5600$

避坑指南：“抽取数等差”不是”产量等差”——抽样比例相同，抽取数之比=产量之比，乙占中项份额

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 分层抽样

结论推广：抽取数等差 $+$ 抽样比相同 $\Rightarrow$ 产量比等差；$16800\times \frac{2}{1+2+3}=5600$

方法推广：分层抽样中各层抽取数之比等于层内个体数之比——“抽取数成等差”翻译成”产量成等差”

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-18 解-独立性检验
• 2018-全国卷III文-14 填-抽样方法
• 1996-全国卷理-12 单-等差数列的前n项和