2005-湖南卷文-10 单-二次函数销售利润最值

本题导读

本题考查二次函数模型在利润最值问题中的应用。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 $L_1=5.06x-0.15x^2$ 和 $L_2=2x$，其中 $x$ 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为()

A. $45.606$　　　　　B. $45.6$　　　　　C. $45.56$　　　　　D. $45.51$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设甲地销售 $x$ 辆，乙地 $15-x$ 辆。
2. 总利润 $L(x)=5.06x-0.15x^2+2(15-x)$。
3. 化简求二次函数在整数点上的最大值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设甲地销售 $x$ 辆，则乙地销售 $(15-x)$ 辆，总利润 $L(x)=5.06x-0.15x^2+2(15-x)=-0.15x^2+3.06x+30$．对称轴 $x=\frac{3.06}{0.3}=10.2$，故在 $x=10$ 处取最大值：$L(10)=-15+30.6+30=45.6$．选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数销售利润最值

核心方法：$L(x)=5.06x-0.15x^2+2(15-x)=-0.15x^2+1.06x+30$，顶点 $x=\frac{1.06}{0.3}\approx 3.53$ 非整，比较 $x=3,4$

避坑指南：销售量为整数辆——连续最值点不在整数上时必须比较邻近整点，别直接代非整数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 二次函数应用

结论推广：$L(x)=-0.15x^2+1.06x+30$，$x=3$ 或 $4$ 时 $L\approx 45.6$ 最大

方法推广：应用题最值变量为整数时，比较连续最值点左右整点；对称轴 $x=\frac{53}{15}$ 居中时两侧值差微小需精算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-10 单-几何体体积
• 2010-大纲卷I理-10 单-绝对值不等式
• 2008-大纲Ⅱ文-10 单-辅助角公式最值