2005-湖北卷理-22 解-数列递推关系与不等式证明

本题导读

本题考查分式递推数列的取倒数代换、恒成立问题的参数剥离。核心在于取倒数代换法。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 22. 已知不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]$，其中 $n$ 为大于 2 的整数，$[{\log }_{2}n]$ 表示不超过 ${\log }_{2}n$ 的最大整数. 设数列 $\{a_n\}$ 的各项为正，且满足 $a_1=b(b>0)$， $a_n⩽\frac{n{a}_{n-1}}{n+a_{n-1}},n=2,3,4,\cdots$.

(1) 证明: $a_n<\frac{2b}{2+b[{\log }_{2}n]},n=3,4,5,\cdots$；

(2) 猜测数列 $\{a_n\}$ 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

(3) 试确定一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，对任意 $b>0$，都有 $a_n<\frac{1}{5}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：

• 递推式为 $a_n⩽\frac{n{a}_{n-1}}{n+a_{n-1}}$，各项为正，取倒数化简： $\frac{1}{a_n}⩾\frac{n+a_{n-1}}{n{a}_{n-1}}=\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{n}$。
• 进而通过累加法得到： $\frac{1}{a_n}⩾\frac{1}{a_1}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{b}+{\sum }_{k=2}^n\frac{1}{k}$。
• 利用题干给出的已知不等式 ${\sum }_{k=2}^n\frac{1}{k}>\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]$ 进行放缩，再取倒数即可完成证明。

2. 第二问思路：

• 当 $n\to +\infty$ 时， $[{\log }_{2}n]\to +\infty$，由第一问的结论可知分母趋于正无穷，而分子为定值，因此介逼出极限为 0。

3. 第三问思路：

• 要使对任意 $b>0$ 都有 $a_n<\frac{1}{5}$，只需考察其上确界。由第一问结论， $\frac{1}{a_n}>\frac{1}{b}+\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]$。
• 当 $b$ 极大时， $\frac{1}{b}\to 0$，此时必须保证 $\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]⩾5⟹[{\log }_{2}n]⩾10$，由此解出 $n$ 的临界规模，确定正整数 $N$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析（由 $\frac{1}{a_n}⩾\frac{1}{b}+\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]$ 放缩得 $a_n<\frac{2b}{2+b[{\log }_{2}n]}$）； (2) 数列 $\{a_n\}$ 有极限，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$； (3) 可取 $N=1023$（即 $n⩾1024$ 时对任意 $b>0$ 都有 $a_n<\frac{1}{5}$）。

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 证明: $a_n<\frac{2b}{2+b[{\log }_{2}n]},n=3,4,5,\cdots$ $\because a_n>0$，将递推不等式 $a_n⩽\frac{n{a}_{n-1}}{n+a_{n-1}}$ 两边取倒数得： $\frac{1}{a_n}⩾\frac{n+a_{n-1}}{n{a}_{n-1}}=\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{n}$ 依此递推累加： $\frac{1}{a_n}⩾\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{n}⩾\frac{1}{a_{n-2}}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}⩾\cdots ⩾\frac{1}{a_1}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}\right)$ $\because a_1=b$，且题干已知条件为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]$， $\therefore \frac{1}{a_n}>\frac{1}{b}+\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]=\frac{2+b[{\log }_{2}n]}{2b}$ 两边再取倒数（由于不等式两边均为正数，取倒数后不等号反向）： $a_n<\frac{2b}{2+b[{\log }_{2}n]}$ 原不等式获证。

• (2) 猜测数列 $\{a_n\}$ 是否有极限 $\text{猜测数列 }\{a_n\}\text{ 有极限，且 }{\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0.$

• (3) 确定正整数 $N$ 使得当 $n>N$ 时，对任意 $b>0$，都有 $a_n<\frac{1}{5}$ 由第(1)问的显式放缩结果： $\frac{1}{a_n}>\frac{1}{b}+\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]$。 要使 $a_n<\frac{1}{5}$ 恒成立，只需 $\frac{1}{a_n}⩾5$ 恒成立。 即只需： $\frac{1}{b}+\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]⩾5$ 对任意 $b>0$ 恒成立。 $\because b>0⟹\frac{1}{b}>0$，要令其对任意极小的 $\frac{1}{b}$（即极大的 $b$）均成立，必须要求常数项部分满足： $\frac{1}{2}[{\log }_{2}n]⩾5⟹[{\log }_{2}n]⩾10$ 根据高斯取整函数的定义， $[{\log }_{2}n]⩾10⟹{\log }_{2}n⩾10⟹n⩾2^{10}=1024$。 因此，当 $n⩾1024$ 时，对任意 $b>0$ 都有 $\frac{1}{a_n}>5⟹a_n<\frac{1}{5}$。 所以，我们可以取正整数 $N=1023$（或任何大于等于 1023 的正整数，如 1024 ）。

$\text{答：可确定正整数 }N=1023.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心方法：针对分式递推式 $a_n=\frac{A{a}_{n-1}}{B+C{a}_{n-1}}$，取倒数代换是破题的唯一通用标准方法。
2. 避坑指南：第(3)问要求“对任意 $b>0$ 恒成立”，此时必须考虑最不利情况（即 $b\to +\infty ⟹\frac{1}{b}\to 0$），从而完全剥离变量 $b$，仅对 $n$ 的取整约束方程求解，切忌将 $b$ 留在最终的 $N$ 表达式中。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变递推式的首项或系数，用待定系数法构造等比数列，或改用裂项、错位相减求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)