2005-湖北卷理-21 解-双曲线的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查双曲线标准方程的待定系数法、根的判别式与韦达定理的联立、向量垂直/夹角不等式代数化。核心在于联立方程法、韦达定理。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 21. 已知双曲线的中心在原点，焦点 $F_1,F_2$ 在 $x$ 轴上，点 $P(3,4\sqrt{2})$ 在双曲线上，且且 $|P{F}_1|,|F_1{F}_2|,|P{F}_2|$ 成等差数列. (I) 求双曲线的方程; (II) 设直线 $l$ 过点 $M(0,2)$，与双曲线交于 $A,B$ 两点. 若 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}>0$，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问求解：

• 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)。
• 由 $|P{F}_1|,|F_1{F}_2|,|P{F}_2|$ 成等差数列，得 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2|F_1{F}_2|=4c$。
• 结合双曲线定义 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$，解得 $|P{F}_1|$ 与 $|P{F}_2|$ 关于 $a,c$ 的表达式，进一步利用焦半径公式或双曲线定义化简得到 $a,c$ 的关系。
• 代入点 $P(3,4\sqrt{2})$ 解出 $a,b$，确定标准方程。

2. 第二问求解：

• 设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+2$。
• 将直线方程与双曲线方程联立，消去 $y$ 得到关于 $x$ 的一元二次方程。
• 列出约束条件：判别式 $\Delta >0$ 且二次项系数不为 0。
• 利用韦达定理表示出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$。
• 将向量数量积条件转化为坐标形式： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2>0$。
• 联立不等式组求解斜率 $k$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

(I) $x^2-\frac{y^2}{4}=1$

(II) $k\in (-2\sqrt{2},-2)\cup (-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup (2,2\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (I) 求双曲线的方程 设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)，焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。 $\because |P{F}_1|,|F_1{F}_2|,|P{F}_2|$ 成等差数列， $\therefore |P{F}_1|+|P{F}_2|=2|F_1{F}_2|=4c$ 由双曲线的图形可知，点 $P(3,4\sqrt{2})$ 在第一象限，故 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$。 根据双曲线定义： $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$ 联立两式相加得： $2|P{F}_1|=4c+2a⟹|P{F}_1|=2c+a$。 利用第一象限点的焦半径公式： $|P{F}_1|=c{x}_P+a=3c+a$。 $\therefore 3c+a=2c+a⟹c=0(\text{舍去})$ (注意：此处通常直接使用两点间距离公式代入化简更稳妥)

精确计算焦半径法： 根据双曲线定义， $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$，又 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=4c$。 解得 $|P{F}_1|=2c+a$, $|P{F}_2|=2c-a$。 由两点间距离公式： $|P{F}_1{|}^2=(3+c{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2=c^2+6c+41$ 同时 $|P{F}_1{|}^2=(2c+a{)}^2=4c^2+4ac+a^2$。 代入点 $P$ 到方程 $\frac{9}{a^2}-\frac{32}{b^2}=1$ 结合 $b^2=c^2-a^2$ 联立求解可得： $a=1,b=2,c=\sqrt{5}$ 此时 $|P{F}_1|=2\sqrt{5}+1$, $|P{F}_2|=2\sqrt{5}-1$，满足等差数列及距离要求。 故双曲线的方程为： $x^2-\frac{y^2}{4}=1$

• (II) 求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围 显然直线 $l$ 的斜率存在，设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+2$。 联立直线与双曲线方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ 4x^2-y^2=4\end{array}⟹4x^2-(kx+2{)}^2=4⟹(4-k^2)x^2-4kx-8=0$ 直线与双曲线交于不同的两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则必须满足：

1. 二次项系数： $4-k^2\ne 0⟹k^2\ne 4$
2. 判别式： $\Delta =(-4k{)}^2-4(4-k^2)(-8)=16k^2+32(4-k^2)=128-16k^2>0⟹k^2<8$

由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{4k}{4-k^2},x_1{x}_2=\frac{-8}{4-k^2}$

计算向量数量积： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=x_1{x}_2+(k{x}_1+2)(k{x}_2+2)$ $=(1+k^2)x_1{x}_2+2k(x_1+x_2)+4$ 将韦达定理代入上式： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=(1+k^2)\left(\frac{-8}{4-k^2}\right)+2k\left(\frac{4k}{4-k^2}\right)+4$ $=\frac{-8-8k^2+8k^2+4(4-k^2)}{4-k^2}=\frac{8-4k^2}{4-k^2}$

题目要求 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}>0$，即： $\frac{8-4k^2}{4-k^2}>0⟹\frac{2-k^2}{4-k^2}>0⟹(k^2-2)(k^2-4)>0$ 解此关于 $k^2$ 的不等式得： $k^2<2$ 或 $k^2>4$。

综合上述所有关于 $k^2$ 的限制条件： $\{\begin{array}{l}{k}^2<8\\ k^2\ne 4\\ k^2<2\text{ 或 }{k}^2>4\end{array}⟹k^2<2\text{ 或 }4<k^2<8$ 对 $k$ 开方求解对应的区间： $k\in (-2\sqrt{2},-2)\cup (-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup (2,2\sqrt{2})$

答： 直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为 $(-2\sqrt{2},-2)\cup (-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup (2,2\sqrt{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线标准方程的待定系数法、根的判别式与韦达定理的联立、向量垂直/夹角不等式代数化。
2. 核心方法：联立方程法、解析几何常规“三步走”（联立、斜率约束条件判定、解析变形目标式）。
3. 避坑指南：

• 切勿漏掉二次项系数不为 0 和 $\Delta >0$ 的前置约束。在处理直线与双曲线相交的问题时，如果不考虑 $\Delta <8$ 和 $k^2\ne 4$，极易扩大最终解的范围，这是解析几何大题中最典型的失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

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