2005-湖北卷理-20 解-空间直角坐标系的建立

本题导读

本题核心考查利用空间向量坐标法解决立体几何中的异面直线夹角与线面垂直位置问题。由于侧棱 $PA\perp$ 底面且底面为矩形，构成了标准的两两垂直结构，通过建立空间直角坐标系可将几何关系完全代数化。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 20. 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，侧棱 $PA\perp$ 底面 $ABCD$， $AB=\sqrt{3}$， $BC=1$， $PA=2$， $E$ 为 $PD$ 的中点.

(1) 求直线 $AC$ 与 $PB$ 所成角的余弦值;

(2) 在侧面 $PAB$ 内找一点 $N$，使 $NE\perp$ 面 $PAC$，并求出 $N$ 点到 $AB$ 和 $AP$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：以 $A$ 为原点， $AB,AD,AP$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系，写出各关键点的坐标。
2. 第一问求解：写出向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 的坐标，利用公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{PB}|}$ 计算异面直线所成角的余弦值。
3. 第二问求解：

• 设 $N$ 在侧面 $PAB$ 内（即 $y_N=0$），设其坐标为 $(x_0,0,z_0)$，从而表示出向量 $\overrightarrow{NE}$。
• 求出平面 $PAC$ 的法向量 $\vec{n}$（或利用平面内两个不共线向量 $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}$）。
• 根据 $NE\perp$ 面 $PAC⟹\overrightarrow{NE}\parallel \vec{n}$（或 $\overrightarrow{NE}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 且 $\overrightarrow{NE}\cdot \overrightarrow{AP}=0$），列方程组解出 $x_0,z_0$。
• $N$ 点到 $AB$ 的距离即为 $z_0$，到 $AP$ 的距离即为 $x_0$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{3\sqrt{7}}{14}$

(2) $N$ 点到 $AB$ 的距离为 $1$，到 $AP$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$（此时 $N\left(\frac{\sqrt{3}}{6},0,1\right)$）

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：建立空间直角坐标系并写出各点坐标 $\because PA\perp$ 底面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 是矩形， $\therefore AB,AD,PA$ 两两垂直。 以 $A$ 为坐标原点，射线 $AB,AD,AP$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 由已知 $AB=\sqrt{3},BC=AD=1,PA=2$，可得各点坐标为： $A(0,0,0),B(\sqrt{3},0,0),C(\sqrt{3},1,0),D(0,1,0),P(0,0,2)$ $\because E$ 是 $PD$ 的中点， $\therefore E\left(0,\frac{1}{2},1\right)$。

• 第二步：解决第 (1) 问——求直线 $AC$ 与 $PB$ 所成角的余弦值 相应向量的坐标为： $\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3},1,0),\overrightarrow{PB}=(\sqrt{3},0,-2)$ 计算对应模长与数量积： $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2+0^2}=2$ $|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+0^2+(-2{)}^2}=\sqrt{7}$ $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}=\sqrt{3}\times \sqrt{3}+1\times 0+0\times (-2)=3$ 设直线 $AC$ 与 $PB$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{PB}|}=\frac{3}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}$ 所以，直线 $AC$ 与 $PB$ 所成角的余弦值为 $\frac{3\sqrt{7}}{14}$。

• 第三步：解决第 (2) 问——确定点 $N$ 的坐标并求距离 $\because$ 点 $N$ 在侧面 $PAB$ 内（ $xAz$ 平面）， $\therefore$ 设点 $N$ 的坐标为 $(x_0,0,z_0)$。 则可得向量： $\overrightarrow{NE}=\left(0-x_0,\frac{1}{2}-0,1-z_0\right)=\left(-x_0,\frac{1}{2},1-z_0\right)$ 要使 $NE\perp$ 面 $PAC$，只需 $\overrightarrow{NE}$ 同时垂直于平面内的两条交线 $AC$ 和 $AP$： $\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3},1,0),\overrightarrow{AP}=(0,0,2)$ 根据数量积为 0 列出方程组： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{NE}\cdot \overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{NE}\cdot \overrightarrow{AP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}{x}_0+\frac{1}{2}+0=0\\ 0+0+2(1-z_0)=0\end{array}$ 解此方程组得： $x_0=\frac{\sqrt{3}}{6},z_0=1$ 所以，点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{3}}{6},0,1\right)$。

$\because N$ 在侧面 $PAB$ 内，其到 $AB$（即 $x$ 轴）的距离为 $z_0=1$； 其到 $AP$（即 $z$ 轴）的距离为 $x_0=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

答： $N$ 点到 $AB$ 和 $AP$ 的距离分别为 $1$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量坐标建系法、线面垂直的向量充要条件（与面内两相交向量乘积为0）。
2. 核心方法：待定系数法求未知点坐标。
3. 避坑指南：

• 明确点到坐标轴距离的几何物理含义。在平面 $xOz$ 内的点 $(x_0,0,z_0)$ 到 $x$ 轴（ $AB$ ）的距离直接对应其竖坐标 $z_0$；到 $z$ 轴（ $AP$ ）的距离直接对应其横坐标 $x_0$，切勿将两者的距离颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)