2005-湖北卷理-19 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题核心考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法。根据李明参加驾照考试的通过规则，分析随机变量 $\xi$ 的可能取值，通过相互独立事件的概率公式计算各取值对应的概率，建立分布列，进而计算期望及领到驾照的综合概率。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 19. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止. 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数 $\xi$ 的分布列和 $\xi$ 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.

🔍【思路分析】

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1. 确定 $\xi$ 的所有可能取值：根据规则，考试次数 $\xi$ 可取 1, 2, 3, 4。
2. 计算各取值下的概率：

• $\xi =1$ 意味着第 1 次通过；
• $\xi =2$ 意味着第 1 次未通过且第 2 次通过；
• $\xi =3$ 意味着前 2 次都未通过且第 3 次通过；
• $\xi =4$ 意味着前 3 次都未通过（此时无论第 4 次是否通过，都不能再考了）。

3. 列出分布列并求期望：使用公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算数学期望。
4. 计算领到驾照的概率：领到驾照即前 4 次考试中某一次通过，其对立事件是“4次考试全未通过”。

✅【答案】

Success

$\xi$ 的分布列为

$\xi$	1	2	3	4
$P$	0.6	0.28	0.096	0.024

$E(\xi )=1.544$；李明在一年内领到驾照的概率为 $0.9976$。

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算随机变量 $\xi$ 各取值的概率 设各次考试通过的事件分别为 $A_1,A_2,A_3,A_4$，对应的通过概率为： $P(A_1)=0.6,P(A_2)=0.7,P(A_3)=0.8,P(A_4)=0.9$ 对应的未通过概率为： $P({\bar{A}}_1)=0.4,P({\bar{A}}_2)=0.3,P({\bar{A}}_3)=0.2,P({\bar{A}}_4)=0.1$

随机变量 $\xi$ 的可能取值为 1, 2, 3, 4：

• 当 $\xi =1$ 时，第 1 次考试通过： $P(\xi =1)=P(A_1)=0.6$

• 当 $\xi =2$ 时，第 1 次未通过，第 2 次通过： $P(\xi =2)=P({\bar{A}}_1)P(A_2)=0.4\times 0.7=0.28$

• 当 $\xi =3$ 时，第 1, 2 次未通过，第 3 次通过： $P(\xi =3)=P({\bar{A}}_1)P({\bar{A}}_2)P(A_3)=0.4\times 0.3\times 0.8=0.096$

• 当 $\xi =4$ 时，前 3 次均未通过： $P(\xi =4)=P({\bar{A}}_1)P({\bar{A}}_2)P({\bar{A}}_3)=0.4\times 0.3\times 0.2=0.024$

• 第二步：列出 $\xi$ 的分布列

$\xi$	1	2	3	4
$P$	0.6	0.28	0.096	0.024

(核对概率和：$0.6+0.28+0.096+0.024=1.0$，结果正确)

• 第三步：计算 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi )$ $E(\xi )=1\times 0.6+2\times 0.28+3\times 0.096+4\times 0.024$ $E(\xi )=0.6+0.56+0.288+0.096=1.544$

• 第四步：计算李明在一年内领到驾照的概率 领到驾照的对立事件是“ 4 次考试均未通过”。 $P(\text{4次均未通过})=P({\bar{A}}_1)P({\bar{A}}_2)P({\bar{A}}_3)P({\bar{A}}_4)=0.4\times 0.3\times 0.2\times 0.1=0.0024$ 因此，领到驾照的概率为： $P(\text{领到驾照})=1-0.0024=0.9976$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验与非等可能事件的乘法法则、随机变量取值边界分析。
2. 核心方法：对立事件转化法。
3. 避坑指南：

• 切勿漏掉 $\xi =4$ 时包含“第4次没通过”的情况。当第 3 次没通过时，无论第 4 次是通过还是挂科，李明都必须且只能参加 4 次考试，所以 $P(\xi =4)$ 的计算截止到前 3 次全败即可，不需要乘以 $P(A_4)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变试验次数或命中概率，重新列分布列并求期望，体会独立重复试验的模型识别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)