2005-湖北卷理-18 解-解三角形

本题导读

本题核心考查解三角形中的基本定理及中线问题的处理技巧。利用余弦定理建立关于三角形边长的方程，求出未知边长，再通过正弦定理及同角三角函数基本关系求出 $\sin A$ 的值。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 18. 在 $△ABC$ 中，已知 $AB=\frac{4\sqrt{6}}{3}$， $\cos B=\frac{\sqrt{6}}{6}$， $AC$ 边上的中线 $BD=\sqrt{5}$，求 $\sin A$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入未知数与中线性质：设 $BC=x$。由于 $D$ 为 $AC$ 中点，可在 $△ABD$ 和 $△CBD$ 中利用余弦定理或直接利用三角形中线长公式建立关于 $x$ 和 $AC$ 的方程。
2. 利用余弦定理求 $BC$：在 $△ABC$ 中，由中线向量性质或倍长中线构造平行四边形，或利用 $△ABD$ 中 $\cos \angle ADB=-\cos \angle CDB$ 消除角度，求出 $BC$ 的长。
3. 求出 $\sin A$：得到三边长后，利用同角三角函数平方关系求出 $\sin B$，再利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求解 $\sin A$。

✅【答案】

Success

设BC=a，CA=c1，并记AB=c=4√6

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：利用中线公式（或余弦定理组合）求 $BC$ 边长 设 $BC=x$， $AC=y$。则 $AD=CD=\frac{y}{2}$。 根据三角形中线定理（平行四边形恒等式在三角形中的应用）： $A{B}^2+B{C}^2=2(B{D}^2+A{D}^2)$ 将已知数据 $AB=\frac{4\sqrt{6}}{3}$, $BD=\sqrt{5}$, $AD=\frac{y}{2}$ 代入： ${\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)}^2+x^2=2\left((\sqrt{5}{)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2\right)$ $\frac{32}{3}+x^2=10+\frac{y^2}{2}⟹y^2=2x^2+\frac{4}{3}\text{(1)}$

同时，在 $△ABC$ 中，由余弦定理有： $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cdot \cos B$ $y^2=\frac{32}{3}+x^2-2\cdot \frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot x\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}$ $y^2=x^2-\frac{8}{3}x+\frac{32}{3}\text{(2)}$

联立 ①、② 消去 $y^2$ 得： $2x^2+\frac{4}{3}=x^2-\frac{8}{3}x+\frac{32}{3}$ $x^2+\frac{8}{3}x-\frac{28}{3}=0⟹3x^2+8x-28=0$ 因式分解得： $(3x+14)(x-2)=0$ $\because x>0$， $\therefore x=2$，即 $BC=2$。

• 第二步：计算 $AC$ 的长 将 $x=2$ 代入 ① 中： $y^2=2(2{)}^2+\frac{4}{3}=8+\frac{4}{3}=\frac{28}{3}⟹AC=\sqrt{\frac{28}{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$

• 第三步：应用正弦定理求 $\sin A$ $\because \cos B=\frac{\sqrt{6}}{6}$ 且 $B\in (0,\pi )$， $\therefore \sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{30}{36}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$

在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$ 得： $\sin A=\frac{BC\cdot \sin B}{AC}=\frac{2\times \frac{\sqrt{30}}{6}}{\frac{2\sqrt{21}}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{30}}{3}}{\frac{2\sqrt{21}}{3}}=\frac{\sqrt{30}}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{70}}{14}$

故 $\sin A$ 的值为 $\frac{\sqrt{70}}{14}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的解析化应用、三角形中线长定理、正弦定理求角。
2. 核心方法：几何量方程联合法。
3. 避坑指南：

• 不要忽视解二次方程时未知数的几何实际意义。求出 $x$ 的两根为 $2$ 和 $-\frac{14}{3}$，必须根据边长大于 0 舍去负根。
• 化简根式时注意细心。如 $\frac{\sqrt{30}}{2\sqrt{21}}$ 分子分母同时约去 $\sqrt{3}$ 得到 $\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{7}}$，再进行分母有理化，避免数值计算失误导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)