2005-湖北卷理-17 解-平面向量的数量积坐标运算

本题导读

本题核心考查平面向量数量积的坐标运算与二次函数单调性的综合应用。通过向量数量积公式构建函数 $f(x)$ 的解析式，利用二次函数的对称轴与其单调增区间的包含关系，建立关于参数 $t$ 的不等式进行求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 17. 已知向量 $\vec{a}=(x^2,x+1)$， $\vec{b}=(1-x,t)$，若函数 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$ 在区间 $(-1,1)$ 上是增函数，求 $t$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先算出解析式：用坐标形式的数量积公式把 $f(x)$ 展开，注意 $x^2(1-x)$ 会出一个三次项，所以这是三次函数，不能用二次函数对称轴去套。
2. 转成导数恒非负：$f$ 在 $(-1,1)$ 上单调递增 $⟺f^{\prime }(x)⩾0$ 在 $(-1,1)$ 上恒成立。
3. 分离参数求上确界：把 $t$ 单独留下，得 $t⩾3x^2-2x$，只需 $t$ 不小于右边在 $(-1,1)$ 上的上确界。注意区间是开的，端点只能取极限。

✅【答案】

Success

$t⩾5$（即 $t\in [5,+\infty )$）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出 $f(x)$ 的解析式

$f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=x^2(1-x)+(x+1)t=-x^3+x^2+tx+t$

第二步：把「单调递增」翻译成导数条件

$f^{\prime }(x)=-3x^2+2x+t$ $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是增函数，等价于 $f^{\prime }(x)⩾0\text{对一切 }x\in (-1,1)\text{成立}$ 即 $t⩾3x^2-2x\text{对一切 }x\in (-1,1)\text{成立}$

第三步：求右端在 $(-1,1)$ 上的上确界

令 $g(x)=3x^2-2x=3{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}$。它开口向上、对称轴 $x=\frac{1}{3}$，所以在 $\left(-1,\frac{1}{3}\right]$ 上递减、在 $\left[\frac{1}{3},1\right)$ 上递增。

两端点对应的函数值： $g(1)=3-2=1,g(-1)=3+2=5$

由于 $-1$ 到对称轴的距离（$\frac{4}{3}$）大于 $1$ 到对称轴的距离（$\frac{2}{3}$），$g$ 在 $(-1,1)$ 上的取值从左端趋近于 $5$，且始终小于 $5$，故 ${\sup }_{x\in (-1,1)}g(x)=5$ 于是 $t⩾5$。

第四步：验证端点可以取到

当 $t=5$ 时， $f^{\prime }(x)=-3x^2+2x+5=-(3x-5)(x+1)$ 当 $-1<x<1$ 时，$3x-5<0$、$x+1>0$，故 $f^{\prime }(x)>0$ 在整个 $(-1,1)$ 上成立，$f(x)$ 严格递增，条件满足。所以 $t=5$ 应当包含在答案内。

综上，$t$ 的取值范围是 $[5,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量坐标数量积、利用导数工具处理函数在给定区间上的恒成立问题（单调性逆向求解）。
2. 核心方法：分离参数法、导数不等式转化法。
3. 避坑指南：

• 区别对待闭区间与开区间的端点值。二次函数最值在距离对称轴远的端点取得。因为 $x=-1$ 距离 $x=\frac{1}{3}$ 明显比 $x=1$ 更远，所以最大值由 $x=-1$ 处决定。
• 不要漏掉导数大于或等于零中的等号。函数在区间内单调递增，其导函数在区间内只需满足 $⩾0$ 即可（个别点为 0 不影响单调性），故端点处取闭区间 $t⩾5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 05.02 函数的四大性质

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