2005-湖北卷理-16 填-线性规划的实际应用

本题导读

本题核心考查应用数学知识解决生活实际最优化问题的能力，属于整数线性规划模型。通过分析两种包装的性价比，建立不等式约束方程，利用自变量必须为非负整数的特点，穷举合理的购买组合，最终锁定最少花费。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 16. 某实验室需购买某种化工原料 106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元. 在满足需要的条件下，最少要花费$\underline{}$元.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算单价确定购买倾向：

• 35千克包装：单价为 $140÷35=4$ 元/千克；
• 24千克包装：单价为 $120÷24=5$ 元/千克。
• 显然，35千克包装的性价比较高，应尽可能多买大包装。

2. 建立不等式关系：设购买 35 千克包装 $x$ 袋， 24 千克包装 $y$ 袋（ $x,y\in \mathbf{N}$），总购买量必须大于或等于 106 千克，即 $35x+24y⩾106$。
3. 分情况穷举计算：由于 $x,y$ 必须是整数，且要使总价 $W=140x+120y$ 最小，我们从大包装的最大可能数开始向下穷举 $x$ 的取值，清点符合要求的最小整数 $y$，计算总花费并对比。

✅【答案】

Success

$500.$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设实验室购买 35 千克装的大包装 $x$ 袋，购买 24 千克装的小包装 $y$ 袋，其中 $x,y$ 均为非负整数（ $x,y\in \mathbf{N}$）。 根据题意，总重量必须满足实验需求，即： $35x+24y⩾106\text{(1)}$ 需要求总花费 $W=140x+120y$ 的最小值。

由性价比分析知，大包装单价为 4元/kg，小包装单价为 5元/kg，应优先考虑多买大包装。 估算大包装的最大可能袋数：当 $y=0$ 时， $35x⩾106⟹x⩾3.03$。所以 $x$ 顶多买 3 到 4 袋左右。 我们在非负整数范围内对 $x$ 从大到小进行分类穷举讨论：

• 情况一：当 $x=4$ 时 代入 ① 式中： $35\times 4+24y⩾106⟹140+24y⩾106⟹24y⩾-34$ $\because y\in \mathbf{N}$， $\therefore y$ 的最小取值为 0。 此时对应的购买总重量为： $35\times 4+24\times 0=140$ 千克 $⩾106$ 千克（满足条件）。 此时的总花费为： $W_1=140\times 4+120\times 0=560\text{ 元}$

• 情况二：当 $x=3$ 时 代入 ① 式中： $35\times 3+24y⩾106⟹105+24y⩾106⟹24y⩾1$ $\because y\in \mathbf{N}$， $\therefore y$ 的最小取值为 1。 此时对应的购买总重量为： $35\times 3+24\times 1=129$ 千克 $⩾106$ 千克（满足条件）。 此时的总花费为： $W_2=140\times 3+120\times 1=420+120=540\text{ 元}$

• 情况三：当 $x=2$ 时 代入 ① 式中： $35\times 2+24y⩾106⟹70+24y⩾106⟹24y⩾36⟹y⩾1.5$ $\because y\in \mathbf{N}$， $\therefore y$ 的最小取值为 2。 此时对应的购买总重量为： $35\times 2+24\times 2=118$ 千克 $⩾106$ 千克（满足条件）。 此时的总花费为： $W_3=140\times 2+120\times 2=280+240=520\text{ 元}$

• 情况四：当 $x=1$ 时 代入 ① 式中： $35\times 1+24y⩾106⟹35+24y⩾106⟹24y⩾71⟹y⩾2.96$ $\because y\in \mathbf{N}$， $\therefore y$ 的最小取值为 3。 此时对应的购买总重量为： $35\times 1+24\times 3=107$ 千克 $⩾106$ 千克（满足条件）。 此时的总花费为： $W_4=140\times 1+120\times 3=140+360=500\text{ 元}$

• 情况五：当 $x=0$ 时 代入 ① 式中： $35\times 0+24y⩾106⟹24y⩾106⟹y⩾4.42$ $\because y\in \mathbf{N}$， $\therefore y$ 的最小取值为 5。 此时对应的购买总重量为： $35\times 0+24\times 5=120$ 千克 $⩾106$ 千克（满足条件）。 此时的总花费为： $W_5=140\times 0+120\times 5=600\text{ 元}$

比较以上所有可能方案的总花费： $W_4=500<W_3(520)<W_2(540)<W_1(560)<W_5(600)$

因此，当大包装买 1 袋，小包装买 3 袋时，总花费最少，为 500 元。

故答案为 500.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划在整数集上的离散最值求解、单价性价比诱导法则。
2. 核心方法：约束条件下的非负整数解有限穷举法。
3. 避坑指南：

• 切勿想当然地认为大包装买得越多越省钱。很多考生通过性价比判定大包装划算后，直接选择买 3 袋大包装加 1 袋小包装（花费 540元）甚至直接买 4 袋大包装（花费 560元）。从本题可见，由于总重量 106 这一具体数值的特殊性，当 $x=1,y=3$ 时总重量为 107 千克，溢出浪费最少（仅浪费 1 千克），因而反而最省钱。实际最值必须通过完整穷举来验算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 16 题，是填空题的压轴题。虽然没有直接给出函数或解析几何公式，但其本质是运筹学中经典的“背包问题”或“切料优化问题”在初等数学中的投影，极好地体现了数学的工具应用价值。
2. 结论推广: 对于实际生活中的采购溢出优化模型 $Ax+By⩾V$，当自变量受限于整型集合时，全局最优解往往并不在纯单价性价比最高的边界上，而是在**“总容量溢出损耗最小”**与“高性价比物品占比大”两者的动态博弈点上。求解该类问题的标准算法通常是分支定界法或动态规划。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)