2005-湖北卷理-14 填-二项式定理

本题导读

本题核心考查三项式展开式中特定项（常数项）的计算方法。可以将三项式通过分组转化为二项式，连续两次运用二项式定理的通项公式进行求解；亦可直接利用多项式定理的通项进行指数平衡方程求解。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 14. ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2}\right)}^5$ 的展开式中整理后的常数项为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（分组二项式法）：将三项式变形为 ${\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\right)+\sqrt{2}\right]}^5$，先关于 $\sqrt{2}$ 进行第一次二项式展开，写出通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\right)}^{5-r}(\sqrt{2}{)}^r$。再对其中的二项式部分进行第二次展开，寻找使 $x$ 的总指数为 0 的项，计算其系数并累加。
2. 方法二（多项式定理法）：直接写出三项展开式的通项公式 $T=\frac{5!}{a!b!c!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^a{\left(\frac{1}{x}\right)}^b(\sqrt{2}{)}^c$，其中非负整数满足 $a+b+c=5$。令 $x$ 的指数 $a-b=0⟹a=b$，代入方程组列举所有合理的可能组合，计算各项后求和。

✅【答案】

Success

$\frac{63\sqrt{2}}{2}$（或 $\frac{63}{2}\sqrt{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

解： 本题采用多项式定理通项法最为直观和严密。

• 第一步：写出多项式展开的通项公式 对于三项式 ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2}\right)}^5$，其展开式的通用项结构为： $T=\frac{5!}{a!b!c!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^a{\left(\frac{1}{x}\right)}^b(\sqrt{2}{)}^c$ 其中，参数 $a,b,c$ 必须满足以下约束条件： $\{\begin{array}{l}a+b+c=5\\ a,b,c\in \mathbf{N}\end{array}$ 将通项公式中的系数与自变量 $x$ 分离，化简得： $T=\frac{5!}{a!b!c!}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^a\cdot (\sqrt{2}{)}^c\cdot x^{a-b}$

• 第二步：列出常数项的指数平衡方程并分类讨论 要求展开式中的“常数项”，即要求自变量 $x$ 的总指数为 0： $a-b=0⟹a=b$ 将 $a=b$ 代入约束方程 $a+b+c=5$ 中，可得： $2a+c=5⟹c=5-2a$ $\because a,c$ 均为非负整数， $\therefore 2a⩽5⟹a$ 的可能取值为 $0,1,2$。

下面依此三种可能组合分别计算其对应项的值：

1. 当 $a=0$ 时： $b=0,c=5-2(0)=5$ 此时该项的数值为： $T_1=\frac{5!}{0!0!5!}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^0\cdot (\sqrt{2}{)}^5=1\times 1\times 4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

2. 当 $a=1$ 时： $b=1,c=5-2(1)=3$ 此时该项的数值为： $T_2=\frac{5!}{1!1!3!}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^1\cdot (\sqrt{2}{)}^3=\frac{120}{6}\times \frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}=20\times \sqrt{2}=20\sqrt{2}$

3. 当 $a=2$ 时： $b=2,c=5-2(2)=1$ 此时该项的数值为： $T_3=\frac{5!}{2!2!1!}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot (\sqrt{2}{)}^1=\frac{120}{4}\times \frac{1}{4}\times \sqrt{2}=30\times \frac{1}{4}\sqrt{2}=\frac{15}{2}\sqrt{2}$

• 第三步：将所有常数项结果相加求和 展开式整理后的最终常数项为上述三种独立情况的代数和： $\text{常数项}=T_1+T_2+T_3=4\sqrt{2}+20\sqrt{2}+\frac{15}{2}\sqrt{2}=\left(24+\frac{15}{2}\right)\sqrt{2}=\frac{63}{2}\sqrt{2}$

故答案为 $\frac{63\sqrt{2}}{2}$（或 $\frac{63}{2}\sqrt{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式定理的通项公式、不定方程的整数解穷举分析。
2. 核心方法：多项式指数平衡法。
3. 避坑指南：

• 不要遗漏 $a=0$ 的边界情况。很多学生潜意识认为 $x$ 的各项次数需要互相抵消，从而习惯性从 $a=1$ 开始数，导致漏掉 $a=0,b=0,c=5$（即完全由常数项 $\sqrt{2}$ 的 5 次方构成）这一项。
• 阶乘计算与分数约分需细心。如计算 $T_3$ 时， $\frac{5!}{2!2!1!}=\frac{120}{4}=30$，乘以 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ 后的化简容易算错，填空题对最终数值的准确性要求极高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 14 题，考查了二项式定理的自然延展——三项式特定项问题，属于课本基础知识的拓宽延伸考查，难度中等。
2. 结论推广: 一般地，对于三项式 ${\left(A{x}^m+B{x}^{-n}+C\right)}^N$ 的展开式，若要寻找常数项，可直接通过多项式定理写出指数方程 $am-bn=0$ 且 $a+b+c=N$。在有限的非负整数范围内找出所有满足条件的解集 $(a_i,b_i,c_i)$，再将对应的系数计算后求和即可。

🔗【关联脉络】

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