2005-湖北卷理-09 单-导数在函数单调性中的应用

本题导读

本题核心考查利用导数工具比较两个超越式的大小。通过构造差值辅助函数，利用一阶导数判断函数的增减性，结合区间端点值判定整体的正负符号，从而确定两式的大小关系。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 9. 若 $0<x<\frac{\pi }{2}$，则 $2x$ 与 $3\sin x$ 的大小关系 ()

A. $2x>3\sin x$　　B. $2x<3\sin x$　　C. $2x=3\sin x$　　D. 与 $x$ 的取值有关

🔍【思路分析】

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1. 构造辅助函数：将比较大小转化为判断正负，令 $f(x)=2x-3\sin x$。
2. 求导分析单调性：计算 $f^{\prime }(x)=2-3\cos x$，在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内寻找导函数的零点（即驻点），分析函数的单调性变化。
3. 结合端点值判定符号：找出函数在区间内的最值或变化趋势，通过特殊点辅助确认是否存在符号翻转，进而得出结论。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：构造辅助函数求导分析法 令辅助函数 $f(x)=2x-3\sin x$，其中 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$。 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=2-3\cos x$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上， $\cos x$ 从 1 严格单调递减到 0：
• 当 $x=0$ 时， $f^{\prime }(0)=2-3=-1<0$；
• 当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时， $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=2-3\times 0=2>0$。

令 $f^{\prime }(x)=0⟹\cos x=\frac{2}{3}$。由于 $\cos x$ 在此区间单调递减，存在唯一的 $x_0\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 使得 $\cos x_0=\frac{2}{3}$。

• 当 $x\in (0,x_0)$ 时， $\cos x>\frac{2}{3}⟹f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(x_0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时， $\cos x<\frac{2}{3}⟹f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增。

现在考查区间端点的函数值：

• 起始点： $f(0)=2(0)-3\sin 0=0$。 因为 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 内单调递减，所以当 $x\in (0,x_0)$ 时，有 $f(x)<f(0)=0$。
• 终点： $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\left(\frac{\pi }{2}\right)-3\sin \frac{\pi }{3}=\pi -3$。 $\because \pi \approx 3.1416>3$， $\text{故 }f\left(\frac{\pi }{2}\right)>0$。

因为 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 先减小到负值，再在 $\left(x_0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内逐渐增大，且最终终点值 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)>0$，根据连续函数的介值性， $f(x)$ 在 $\left(x_0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内必然会经过零点。 也就是说， $f(x)$ 在 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 范围内既有负值也有正值。 因此， $2x$ 与 $3\sin x$ 的大小关系与 $x$ 的具体取值有关。

• 方法二：特殊值快速排除法（适合选择题） 取靠近 0 的特殊值，利用 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，当 $x$ 极小时， $3\sin x\approx 3x>2x$，即 $2x<3\sin x$。 取右端点 $x=\frac{\pi }{2}$ 检验：此时 $2x=\pi \approx 3.14$，而 $3\sin \frac{\pi }{2}=3$，此时 $2x>3\sin x$。 由于在区间左侧 $2x<3\sin x$，在区间右侧 $2x>3\sin x$，说明大小关系不固定，取决于 $x$ 的取值。

故 (D) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数符号与函数单调性的对应关系、分段单调函数的符号变化判定。
2. 核心方法：构造差值函数法、特殊值锚定法。
3. 避坑指南：

• 不要看到 $f(0)=0$ 和 $f^{\prime }(\frac{\pi }{2})>0$ 就盲目判断函数恒大于 0。导函数 $f^{\prime }(x)=2-3\cos x$ 的正负号在区间内发生过翻转，函数是先减后增的，因此不能想当然地认为其具有单向单调性而错选 (A) 或 (B)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 9 题，考查非单调状态下超越式大小的辨析，打破了常规题型中“恒大于”或“恒小于”的定势思维。
2. 结论推广: 比较 $ax$ 与 $b\sin x$ ($b>a>0$) 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的大小关系时，若满足 $a\cdot \frac{\pi }{2}>b$，则在接近 0 处有 $ax<b\sin x$，在接近 $\frac{\pi }{2}$ 处有 $ax>b\sin x$，其大小关系必与 $x$ 的取值有关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

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