2005-湖北卷理-06 单-函数的凹凸性

本题导读

本题核心考查函数的凹凸性概念。题干中的不等式 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 是函数在对应区间上为**严格上凸函数（凸函数）**的几何与代数特征。通过对四个已知函数的图象或二阶导数符号进行判定，即可找出符合条件的函数个数。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 6. 在 $y=2^x$, $y={\log }_{2}x$, $y=x^2$, $y=\cos 2x$ 这四个函数中，当 $0<x_1<x_2<1$ 时，使 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 恒成立的函数个数是 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确不等式的几何意义：对于区间内的任意两点 $x_1,x_2$，中点处的函数值大于函数值的中点（即弦中点的纵坐标），代表该段图象“向上凸起”，即为上凸函数。
2. 利用二阶导数或图象性质逐一检验：

• 若 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则函数为严格上凸函数，满足题意；
• 若 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则函数为严格下凹函数，不满足题意。

3. 统计满足条件的个数：得出最终选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据题意，当 $0<x_1<x_2<1$ 时，满足 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 恒成立的函数即为在区间 $(0,1)$ 上的严格上凸函数。我们可以通过计算二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$ 的正负或结合基本图象走势来分析这四个函数：

• ① 对于函数 $f(x)=2^x$： 其导数为 $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$，二阶导数为 $f^{\prime \prime }(x)=2^x(\ln 2{)}^2$。 $\because$ 当 $x\in (0,1)$ 时， $2^x>0$ 且 $(\ln 2{)}^2>0$， $\therefore f^{\prime \prime }(x)>0$。 这说明 $y=2^x$ 在 $(0,1)$ 上是下凹函数（图象向下凹），满足 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。不符合题意。

• ② 对于函数 $f(x)={\log }_{2}x$： 其导数为 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 2}$，二阶导数为 $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2\ln 2}$。 $\because$ 当 $x\in (0,1)$ 时， $x^2>0$ 且 $\ln 2>0$， $\therefore f^{\prime \prime }(x)<0$。 这说明 $y={\log }_{2}x$ 在 $(0,1)$ 上是上凸函数（图象向上凸），符合题意。

• ③ 对于函数 $f(x)=x^2$： 其导数为 $f^{\prime }(x)=2x$，二阶导数为 $f^{\prime \prime }(x)=2>0$。 这说明 $y=x^2$ 是标准的下凹函数（抛物线开口向上），不符合题意。

• ④ 对于函数 $f(x)=\cos 2x$： 其导数为 $f^{\prime }(x)=-2\sin 2x$，二阶导数为 $f^{\prime \prime }(x)=-4\cos 2x$。 $\because x\in (0,1)⟹2x\in (0,2)$。 当 $2x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，即 $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 时， $\cos 2x>0⟹f^{\prime \prime }(x)<0$（上凸）； 当 $2x\in \left(\frac{\pi }{2},2\right)$，即 $x\in \left(\frac{\pi }{4},1\right)$ 时， $\cos 2x<0⟹f^{\prime \prime }(x)>0$（下凹）。 由于在整个区间 $(0,1)$ 上二阶导数的符号发生改变（存在拐点），因此该不等式在此区间内不能恒成立。不符合题意。

综上所述，只有 $y={\log }_{2}x$ 这 1 个函数满足条件。

故 (B) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：琴生不等式（Jensen’s Inequality）的一元隐式结构、利用二阶导数符号快速判定曲线凹凸性。
2. 核心方法：导数分析法、图象直观法。
3. 避坑指南：

• 国内教材对“凸函数”的传统定义存在术语交叉。部分传统教材将本题符合的“上凸（图象拱起）”称为“凸函数”，而将“下凹（图象凹陷）”称为“凹函数”（如高等数学常规教材）。审题时应完全以题干给出的具体代数不等式符号方向为唯一判定基准，避免陷入文字定义的争论。
• 注意三角函数区间角度的缩放。对于 $y=\cos 2x$，自变量范围是 $(0,1)$ 时，对应的相位角是 $(0,2)$ 弧度。由于 $2>\frac{\pi }{2}\approx 1.57$，该区间跨越了第一和第二象限，导致余弦值正负发生切换，因此无法“恒成立”。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将参数置于区间端点或极值点，讨论单调区间的划分与最值取到的位置，强化导数符号分析。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.15 函数凹凸性定义

类题演练 (Links)