2005-湖北卷理-04 单-对数的性质与恒等式

本题导读

本题核心考查含有多个绝对值符号的初等函数图象的识别，重点在于利用对数的性质化简指数部分，并根据自变量的不同取值范围去掉绝对值符号，从而将原函数转化为分段函数进行判定。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 4. 函数 $y={\mathrm{e}}^{|\ln x|}-|x-1|$ 的图象大致是

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域：根据对数真数大于 0 的限制，确定函数的定义域为 $(0,+\infty )$。
2. 分段化简函数：以 $x=1$ 为分界点进行讨论（此时 $\ln x$ 与 $x-1$ 的正负号同时发生改变）。

• 当 $x⩾1$ 时， $\ln x⩾0,x-1⩾0$，去掉绝对值化简；
• 当 $0<x<1$ 时， $\ln x<0,x-1<0$，去掉绝对值化简。

3. 对照图象选择：根据化简后的分段函数特征以及特殊点的值，排除错误选项，得出正确答案。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定定义域并分段讨论化简 $\because$ 表达式中含有对数项 $\ln x$， $\therefore$ 真数 $x>0$，即定义域为 $(0,+\infty )$。 我们以 $x=1$ 作为分类讨论的界点：

• 当 $x⩾1$ 时： $\ln x⩾0⟹|\ln x|=\ln x$ $x-1⩾0⟹|x-1|=x-1$ 代入原函数解析式中： $y={\mathrm{e}}^{\ln x}-(x-1)$ 根据对数恒等式 ${\mathrm{e}}^{\ln x}=x$，上式可化简为： $y=x-(x-1)=1$ 这说明当 $x⩾1$ 时，函数的图象是一条平行于 $x$ 轴且纵坐标为 1 的水平射线。结合选项，可以排除 (B) 和 (C)。

• 当 $0<x<1$ 时： $\ln x<0⟹|\ln x|=-\ln x$ $x-1<0⟹|x-1|=-(x-1)=1-x$ 代入原函数解析式中： $y={\mathrm{e}}^{-\ln x}-(1-x)$ 利用对数性质 ${\mathrm{e}}^{-\ln x}={\mathrm{e}}^{\ln x^{-1}}=x^{-1}=\frac{1}{x}$，上式可化简为： $y=\frac{1}{x}+x-1$

• 第二步：分析 $0<x<1$ 时的函数性质与趋势 在区间 $(0,1)$ 上，对函数 $y=\frac{1}{x}+x-1$ 求导或分析趋势： 当 $x$ 无限趋近于 0 时， $\frac{1}{x}\to +\infty$，所以 $y\to +\infty$。图象应该沿 $y$ 轴向上无限延伸。 对照选项 (A) 和 (D)， (A) 在 $(0,1)$ 内的图象是水平常数线，显然错误； (D) 满足趋于正无穷的特征。

故 (D) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数恒等式 ${\mathrm{e}}^{\ln x}=x$ 与 ${\mathrm{e}}^{-\ln x}=\frac{1}{x}$ 的变换、绝对值分段讨论思想。
2. 核心方法：分段讨论法、极限趋势判定法。
3. 避坑指南：

• 不要被复杂的绝对值指数形式吓倒。只要看到 $\ln x$ 处于绝对值内，本能地以 1 为分界线拆开讨论，函数就会立即退化为简单的多项式和反比例函数。
• 特殊点验证法的巧妙应用。在选择题中，若一时不会完整化简，可取特殊值，如令 $x=1⟹y={\mathrm{e}}^0-0=1$。再取 $x=0.5⟹y={\mathrm{e}}^{-\ln 0.5}-|0.5-1|=2-0.5=1.5>1$。由此可知在 $(0,1)$ 上函数值大于 1，可直接排除 (A) 和 (B)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 4 题，主要考查新课标中对复杂初等函数基本宏观图象走势的辨析与控制能力，属于中低难度题。
2. 结论推广: 对于函数 $y=a^{|{\log }_{a}x|}-|x-1|$ ($a>1$)，在其定义域内运用相同的拆分法，当 $x⩾1$ 时，其函数值恒为常数 1；当 $0<x<1$ 时，其解析式为 $y=\frac{1}{x}+x-1$。因此其性质和图象结构与基底 $a$ 的具体选择无关。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)