2005-湖北卷理-03 单-复数的四则运算

本题导读

本题核心考查复数的代数四则运算，通过分子多项式展开与分母实数化实现复数的化简。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 3. $\frac{(1-\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}=$ ()

A. $-2-\mathrm{i}$　　　　B. $-2+\mathrm{i}$　　　　C. $2-\mathrm{i}$　　　　D. $2+\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 多项式展开分子：利用多项式乘法法则展开分子 $(1-\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})$，并利用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 化简为标准形式 $a+b\mathrm{i}$。
2. 分母实数化：分子与分母同时乘以分母的共轭复数 $1-\mathrm{i}$，完成除法运算并化简得出最终结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：展开并化简分子部分 $\text{分子}=(1-\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})=1+2\mathrm{i}-\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2$ $\because {\mathrm{i}}^2=-1$， $\therefore \text{分子}=1+\mathrm{i}-2(-1)=1+\mathrm{i}+2=3+\mathrm{i}$

• 第二步：进行复数除法运算（分母实数化） 将化简后的分子代入原式，分子与分母同乘以 $1-\mathrm{i}$： $\frac{3+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(3+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}$ 展开分子与分母： $\text{分母}=1^2-{\mathrm{i}}^2=1-(-1)=2$ $\text{分子}=3-3\mathrm{i}+\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2=3-2\mathrm{i}-(-1)=4-2\mathrm{i}$ 代入分式中化简： $\frac{4-2\mathrm{i}}{2}=2-\mathrm{i}$

故 (C) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘法与除法法则、 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的恒等代换。
2. 核心方法：共轭复数实数化法。
3. 避坑指南：

• 注意对乘法展开中符号的把控。例如 $-\mathrm{i}\times 2\mathrm{i}=-2{\mathrm{i}}^2=-2\times (-1)=+2$，此处容易由于粗心将负号混淆算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 3 题，属于高考前三题的常规送分基础题，旨在考查数集扩充后复数基本概念与代数运算的熟练度。
2. 结论推广: 对于复数算式 $\frac{(1-\mathrm{i})(1+n\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}$，可通过公式直接提炼规律：由于 $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$，原式可直接化简为 $-\mathrm{i}(1+n\mathrm{i})=n-\mathrm{i}$。本题中 $n=2$，代入可得 $2-\mathrm{i}$。

🔗【关联脉络】

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• 12.01 数系的扩充与复数

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