2005-湖北卷理-02 单-充分条件与必要条件的判定

本题导读

本题核心考查常用逻辑用语中的充分条件、必要条件与充要条件的判定，涉及等式性质、实数分类及不等式性质等基础代数知识。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 2. 对任意实数 $a,b,c$，给出下列命题： ① “$a=b$”是“$ac=bc$”充要条件； ② “$a+5$ 是无理数”是“$a$ 是无理数”的充要条件； ③ “$a>b$”是“$a^2>b^2$”的充分条件； ④ “$a<5$”是“$a<3$”的必要条件. 其中真命题的个数是 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 分析命题①：根据等式性质， $a=b⟹ac=bc$ 成立；但反之当 $c=0$ 时， $ac=bc⟹a=b$ 不一定成立，据此判断。
2. 分析命题②：利用反证法或有理数的封闭性，探究 $a+5$ 与 $a$ 的无理数属性是否互为充要条件。
3. 分析命题③：考虑负数的情况，通过构造反例（如 $a=1,b=-2$）检验充分性是否成立。
4. 分析命题④：将不等式转化为集合范围，若 $P⟹Q$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分条件， $Q$ 是 $P$ 的必要条件，以此验证必要性。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：分析命题①的真假

• 充分性：若 $a=b$，两边同乘以 $c$ 显然有 $ac=bc$，充分性成立。

• 必要性：若 $ac=bc$，当 $c=0$ 时，无论 $a,b$ 为何值等式都成立（例如 $1\times 0=2\times 0$），此时推不出 $a=b$，必要性不成立。

• 结论：①是假命题。

• 第二步：分析命题②的真假

• 充分性：若 $a+5$ 是无理数，假设 $a$ 是有理数，则根据有理数的加法封闭性， $a+5$ 也必为有理数，这与已知矛盾，故 $a$ 必是无理数，充分性成立。

• 必要性：若 $a$ 是无理数，假设 $a+5$ 是有理数，则 $(a+5)-5=a$ 必为有理数，这与已知矛盾，故 $a+5$ 必是无理数，必要性成立。

• 结论：②是真命题。

• 第三步：分析命题③的真假

• 充分性：若 $a>b$，取 $a=1,b=-2$，显然满足 $1>-2$。但 $a^2=1,b^2=4$，此时 $a^2>b^2$ 不成立。

• 结论：③是假命题。

• 第四步：分析命题④的真假

• 考查必要性，即验证“$a<3⟹a<5$”是否成立。

• 显然，如果一个数小于 3，它必然小于 5。

• 依据定义，由小范围能推出大范围，则大范围“$a<5$”是小范围“$a<3$”的必要条件。

• 结论：④是真命题。

综上所述，真命题有②和④，共 2 个。

故 (B) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分/必要条件逻辑关系的判定、不等式与等式性质的边界条件（如 0 和负数）。
2. 核心方法：反例否定法、条件范围包含法（小范围 $⟹$ 大范围）。
3. 避坑指南：

• 不要忽视 $c=0$ 这一特殊情况。在代数等式变形中，两边同时除以一个未知量时，必须确保其不为 0。
• 处理平方不等式时注意负数的影响。只有在 $a>b>0$（均小于 0 时不等号反向）这一前提下，两边平方才能保持不等号方向不变。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变系数或条件，用均值、柯西或绝对值不等式求最值，注意等号成立条件的验证。

🔗【关联脉络】

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• 02.01 常用逻辑用语

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