2005-湖北卷文-21 解-灯泡更换的概率

本题导读

本题考查相互独立事件与互斥事件的概率计算，以及二项分布的应用。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 某会议室用 $5$ 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 $1$ 年以上的概率为 $p_1$，寿命为 $2$ 年以上的概率为 $p_2$．从使用之日起每满 $1$ 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．

(1)在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换 $2$ 只灯泡的概率；

(2)在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

(3)当 $p_1=0.8$，$p_2=0.3$ 时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换 $4$ 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 5 只均用满 1 年：$p_1^5$；恰换 2 只：${\mathrm{C}}_5^2(1-p_1{)}^2{p}_1^3$。
2. (2) 拆两支互斥：初始泡不满 1 年且新泡又不满 1 年，或初始泡满 1 年不满 2 年。
3. (3) 一盏需换概率 $p$，更换数服从 $B(5,p)$，求 $P(\xi ⩾4)$。

✅【答案】

Success

(1) 不需要更换灯泡的概率为 $p_1^5$，更换 $2$ 只灯泡的概率为 ${\mathrm{C}}_5^2(1-p_1{)}^2{p}_1^3$； (2) 该盏灯需要更换灯泡的概率为 $(1-p_1{)}^2+p_1-p_2$； (3) 至少需要更换 $4$ 只灯泡的概率约为 $0.24$．

✍【详细解析】

Abstract

（1）第一次更换工作时，某只初始灯泡不需要更换的概率为 $p_1$，五只灯泡都不需要更换的概率为 $p_1^5$；恰好更换 2 只时，从五只中选出这 2 只、其余 3 只均能使用 1 年以上，概率为 ${\mathrm{C}}_5^2(1-p_1{)}^2{p}_1^3$． （2）考虑其中一盏灯：若初始灯泡使用不到 1 年就坏掉，第一次更换后装上的新灯泡又使用不到 1 年，则第二次更换时需更换，概率为 $(1-p_1{)}^2$；若初始灯泡能使用 1 年以上但不能使用 2 年，则第二次更换时也需更换，概率为 $p_1-p_2$．这两种情况互斥，故第二次更换时该灯需更换灯泡的概率为 $(1-p_1{)}^2+p_1-p_2$． （3）当 $p_1=0.8$，$p_2=0.3$ 时，第二次更换时一盏灯需更换的概率 $p=(1-0.8{)}^2+0.8-0.3=0.54$．五盏灯中需更换的灯数服从二项分布，至少更换 4 只包括恰好 4 只和恰好 5 只，故概率为 ${\mathrm{C}}_5^4{p}^4(1-p)+p^5={\mathrm{C}}_5^4(0.54{)}^4(0.46)+(0.54{)}^5\approx 0.24$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：灯泡更换的概率

核心方法：(2) 互斥两支 $(1-p_1{)}^2+(p_1-p_2)$；(3) 二项分布 $P(\xi ⩾4)$

避坑指南：第二次更换的两支：初始泡连续两年内坏、或用满 1 年不满 2 年；$p=0.54$，$P={\mathrm{C}}_5^4{p}^4(1-p)+p^5\approx 0.24$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 概率

结论推广：(1) $p_1^5$ 与 ${\mathrm{C}}_5^2(1-p_1{)}^2{p}_1^3$；(2) $(1-p_1{)}^2+(p_1-p_2)$；(3) ${\mathrm{C}}_5^4{p}^4(1-p)+p^5\approx 0.24$（$p=0.54$）

方法推广：分阶段更换问题画时间线拆互斥事件；总数服从二项分布时用 $P(\xi ⩾4)$ 拆两项

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2020-新课标I文-17 解-概率期望
• 2018-全国卷I理-20 解-独立重复试验
• 2018-全国卷I文-19 解-频率分布直方图