2005-湖北卷文-17 解-向量数量积构造函数求参数

本题导读

本题考查向量数量积构造函数，以及利用导数研究单调性求参数范围。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(x^2,x+1)$，$\vec{b}=(1-x,t)$，若函数 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$ 在区间 $(-1,1)$ 上是增函数，求 $t$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=x^2(1-x)+(x+1)t=-x^3+x^2+tx+t$。
2. $f^{\prime }(x)=-3x^2+2x+t$。
3. 增函数要求 $f^{\prime }(x)⩾0$ 于 $(-1,1)$ 恒成立。
4. 转化为 $t⩾3x^2-2x$ 在 $(-1,1)$ 的最大值。

✅【答案】

Success

因此f′(x) = −3x2 + 2x+ t

✍【详细解析】

Abstract

由向量数量积的坐标运算，$f(x)=x^2(1-x)+t(x+1)=-x^3+x^2+tx+t$，故 $f^{\prime }(x)=-3x^2+2x+t$．$f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上为增函数，须 $f^{\prime }(x)⩾0$ 在 $(-1,1)$ 恒成立，即 $t⩾3x^2-2x$．令 $g(x)=3x^2-2x=3{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}$，在 $(-1,1)$ 上其值随 $x$ 向端点增大，$g(-1)=5$，$g(1)=1$，故最大值为 5（$x=-1$ 处取到其极限）．因此 $t⩾5$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积构造函数求参数

核心方法：$f^{\prime }(x)=-3x^2+2x+t$ 在 $(-1,1)$ 恒非负 $⟺t⩾5$

避坑指南：$t<5$ 时 $f^{\prime }(-1)<0$ 由连续性矛盾；$t⩾5$ 时 $f^{\prime }(x)⩾-3x^2+2x+5>0$ 于 $(-1,1)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 数量积与函数单调性

结论推广：$f(x)=-x^3+x^2+tx+t$，$f^{\prime }(x)=-3x^2+2x+t⩾0$ 于 $(-1,1)⟺t⩾5$

方法推广：数量积构造三次函数，“区间上递增”化为导数恒非负；二次函数参数恒成立看端点与对称轴

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-21 解-导数单调性
• 2018-全国卷I文-21 解-导数几何意义
• 2018-全国卷II文-23 解-绝对值不等式