2005-湖北卷文-11 单-切线倾斜角与整点

本题导读

本题考查导数的几何意义与倾斜角的范围，以及整数解的存在性判断。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 在函数 $y=x^3-8x$ 的图象上，其切线的倾斜角小于 $\frac{\pi }{4}$ 的点中，坐标为整数的点的个数是()

A. $3$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 倾斜角 $<\frac{\pi }{4}⟺0⩽y^{\prime }<1$。
2. $y^{\prime }=3x^2-8$，即 $\frac{8}{3}⩽x^2<3$。
3. 整数 $x$ 的平方落不进该区间，个数为 0。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设曲线上点 $(x,y)$ 处切线的倾斜角为 $\theta$．由 $y=x^3-8x$ 得切线斜率 $\tan \theta =y^{\prime }=3x^2-8$．倾斜角满足 $0⩽\theta <\frac{\pi }{4}$ 时，必有 $0⩽3x^2-8<1$，即 $\frac{8}{3}⩽x^2<3$．但整数 $x$ 的平方不可能落在区间 $\left[\frac{8}{3},3\right)$ 内，所以不存在符合条件的整点，点的个数为 0，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线倾斜角与整点

核心方法：斜率 $0⩽3x^2-8<1$ 解 $\frac{8}{3}⩽x^2<3$

避坑指南：整数 $x$ 的平方是 $0,1,4,9,\cdots$，落不进 $\left[\frac{8}{3},3\right)$——先写不等式再查整数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 导数的几何意义

结论推广：倾斜角 $<\frac{\pi }{4}⟺0⩽3x^2-8<1⟺\frac{8}{3}⩽x^2<3$，无整数解

方法推广：切线倾斜角化为斜率范围，再把”整点”化成整数平方的区间问题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II理-11 单-导数运算
• 2007-大纲卷I理-11 单-三角形面积计算
• 1989-全国卷理-11 单-复合函数的单调性