2005-湖北卷文-08 单-空间位置关系命题

本题导读

本题考查空间中线线、线面位置关系的命题判定，以及反例构造。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 已知 $a$、$b$、$c$ 是直线，$\beta$ 是平面，给出下列命题： ①若 $a\perp b$，$b\perp c$，则 $a\parallel c$； ②若 $a\parallel b$，$b\perp c$，则 $a\perp c$； ③若 $a\parallel \beta$，$b\subset \beta$，则 $a\parallel b$； ④若 $a$ 与 $b$ 异面，且 $a\parallel \beta$，则 $b$ 与 $\beta$ 相交； ⑤若 $a$ 与 $b$ 异面，则至多有一条直线与 $a$，$b$ 都垂直． 其中真命题的个数是()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①反例：三条坐标轴两两垂直。
2. ②③④各举异面/平行反例。
3. ⑤异面直线公垂线唯一，“至多一条”为真。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

前四个命题均不恒成立．第①个命题可取 $b$ 为 $x$ 轴，$a$ 为过原点的 $y$ 轴，$c$ 为过原点的 $z$ 轴，此时 $a\perp b$，$b\perp c$，但 $a$ 与 $c$ 不平行．第②个命题可取 $b$ 为 $y$ 轴，$a$ 为与 $b$ 平行且位于平面 $z=1$ 内的直线，$c$ 为 $x$ 轴，此时 $b\perp c$，但 $a$ 与 $c$ 异面，谈不上 $a\perp c$．第③个命题中，取 $\beta$ 为平面 $z=0$，取位于平面 $z=1$ 内且方向与 $x$ 轴相同的直线 $a$，再取平面 $\beta$ 内方向与 $y$ 轴相同的直线 $b$，则 $a\parallel \beta$，但 $a$ 不平行于 $b$．第④个命题中，取 $\beta$ 为平面 $z=0$，取平面 $z=1$ 内的直线 $a$ 与平面 $z=2$ 内的直线 $b$，使二者方向不同，则 $a$ 与 $b$ 异面，且 $a\parallel \beta$，但 $b\parallel \beta$，$b$ 不与 $\beta$ 相交．第⑤个命题是异面直线的公垂线唯一性的直接结论，故为真命题．因此真命题只有 1 个，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间位置关系命题

核心方法：逐条举空间反例

避坑指南：①②③④各举一反例（坐标轴/平行平面内直线）；⑤是异面直线公垂线的唯一性——“至多一条”为真

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 空间点线面位置关系

结论推广：①②③④反例（坐标轴构型、平行平面内异面直线）；⑤公垂线唯一性

方法推广：空间命题判定多举坐标反例；“至多一条”的肯定表述常来自唯一性定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I文-06 单-线面平行
• 2012-大纲卷文-08 单-点面距向量法
• 2002-大纲理-08 单-异面直线所成的角