2005-湖北卷文-07 单-函数凹凸性判断

本题导读

本题考查函数凹凸性的判断，以及二阶导数符号的运用。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 在 $y=2^x$，$y={\log }_{2}x$，$y=x^2$，$y=\cos 2x$ 这四个函数中，当 $0<x_1<x_2<1$ 时，使 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 恒成立的函数的个数是()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不等式即”上凸”定义：二阶导数 $<0$ 恒成立。
2. $2^x$ 与 $x^2$ 二阶导为正（下凸），不满足。
3. ${\log }_{2}x$ 二阶导 $<0$ 满足；$\cos 2x$ 二阶导在 $x>\frac{\pi }{4}$ 变号，不满足。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对四个函数分别考察其在 $(0,1)$ 上的凹凸性：$2^x$ 与 $x^2$ 的二阶导数分别为 $(2^x)(\ln 2{)}^2>0$ 与 $2>0$，均为下凸函数，中点处函数值小于两端函数值的平均数，不满足题设；${\log }_{2}x$ 的二阶导数为 ${\left({\log }_{2}x\right)}^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2\ln 2}<0$，所以它在该区间上为严格上凸函数，题中的不等式恒成立．对于 $\cos 2x$，${\left(\cos 2x\right)}^{\prime \prime }=-4\cos 2x$，当 $\frac{\pi }{4}<x<1$ 时二阶导数为正，因而不可能在整个区间上保持严格上凸性，题中的不等式不恒成立．因此只有 ${\log }_{2}x$ 满足条件，函数个数为 1，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数凹凸性判断

核心方法：二阶导数定凹凸：上凸满足 $f(\text{中点})>\text{平均}$

避坑指南：$2^x$ 与 $x^2$ 是下凸（不满足）；$\cos 2x$ 在 $x>\frac{\pi }{4}$ 变下凸——要”恒成立”须整个区间同凸

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-2 导数应用

结论推广：$({\log }_{2}x{)}^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2\ln 2}<0$ 严格上凸；$2^x$、$x^2$ 下凸，$\cos 2x$ 变号

方法推广：中点不等式即凹凸性的定义；“恒成立”要求整个区间二阶导不变号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.15 函数凹凸性定义

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷II理-07 单-三角函数
• 1997-全国卷理-07 单-函数图象的变换
• 1995-全国卷理-07 单-反三角不等式的解集