2005-湖北卷文-02 单-充要条件命题判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及命题真假的识别。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 对任意实数 $a$，$b$，$c$，给出下列命题： ①"$a=b$"是"$ac=bc$"的充要条件； ②”$a+5$ 是无理数”是”$a$ 是无理数”的充要条件； ③"$a>b$"是"$a^2>b^2$"的充分条件； ④"$a<5$"是"$a<3$"的必要条件． 其中真命题的个数是()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①反例 $c=0$，$a\ne b$ 时 $ac=bc$。
2. ②有理数 $\pm 5$ 不改变无理性，充要。
3. ③反例 $a=1$，$b=-2$；④$a<3\Rightarrow a<5$，必要。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第①个命题中，$a=b$ 能推出 $ac=bc$，但取 $c=0$ 且 $a\ne b$ 时，逆命题不成立，故第①个命题是假命题．由于 5 是有理数，$a+5$ 是无理数当且仅当 $a$ 是无理数，所以第②个命题是真命题．第③个命题不成立，例如 $a=1$，$b=-2$ 时，$a>b$，但 $a^2<b^2$．第④个命题是真命题，因为 $a<3$ 必能推出 $a<5$，即 $a<5$ 是 $a<3$ 的必要条件．因此真命题有 2 个，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件命题判定

核心方法：逐条举反例/验证

避坑指南：①忽略 $c=0$；③”$a>b$ 推 $a^2>b^2$“需同号；④”$a<5$ 是 $a<3$ 的必要条件”方向别写反——小范围推出大范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 常用逻辑用语

结论推广：②”$a+5$ 无理 $⟺a$ 无理”（有理数加无理数）与④"$a<3\Rightarrow a<5$"为真

方法推广：充要条件判定：充分性看正向推导、必要性看反向反例；$c=0$ 是恒乘型的经典反例

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-05 单-向量垂直
• 2017-全国卷I理-03 单-复数
• 1985-全国理-02 单-充分必要条件（三角）