2005-浙江卷理-20 解-点到抛物线的最短距离

本题导读

本题为全卷的压轴题之一，核心考查点到抛物线的最短距离这一经典微积分几何背景。通过法线垂直切线这一几何条件，建立相邻两项 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ 的递推关系式，最终转化为等差数列的严格证明。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 设点 $A_n(x_n,0)$， $P_n(x_n,2^{n-1})$ 和抛物线 $C_n:y=x^2+a_{n}x+b_n$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，其中 $a_n=-2-4n-\frac{1}{2^{n-1}}$， $x_n$ 由以下方法得到： $x_1=1$，点 $P_2(x_2,2)$ 在抛物线 $C_1:y=x^2+a_{1}x+b_1$ 上，点 $A_1(x_1,0)$ 到 $P_2$ 的距离是 $A_1$ 到 $C_1$ 上点的最短距离，$\dots$，点 $P_{n+1}(x_{n+1},2^n)$ 在抛物线 $C_n:y=x^2+a_{n}x+b_n$ 上，点 $A_n(x_n,0)$ 到 $P_{n+1}$ 的距离是 $A_n$ 到 $C_n$ 上点的最短距离.

(1)求 $x_2$ 及 $C_1$ 的方程.

(2)证明 $\{x_n\}$ 是等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解“最短距离”的几何含义：若点 $A_n(x_n,0)$ 到抛物线 $C_n$ 上点 $P_{n+1}(x_{n+1},2^n)$ 的距离最短，由微积分与解析几何原理知：连线 $A_n{P}_{n+1}$ 必然垂直于抛物线在点 $P_{n+1}$ 处的切线（即 $A_n{P}_{n+1}$ 位于抛物线在点 $P_{n+1}$ 处的法线上）。
2. 利用导数建立递推式：对抛物线方程求导可得切线斜率 $k_{\text{切}}=2x+a_n$。代入点 $P_{n+1}$ 的横坐标 $x_{n+1}$ 得到该点切线斜率，则法线斜率 $k_{A_n{P}_{n+1}}=-\frac{1}{2x_{n+1}+a_n}$。利用两点斜率公式即可建立 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ 之间的递推关系。
3. 第（1）问：将 $n=1,x_1=1$ 代入上述通用的递推结构中，求出 $x_2$，再利用点 $P_2$ 在抛物线 $C_1$ 上解出 $b_1$，确定方程。
4. 第（2）问：将已知 $a_n$ 的表达式代入通项递推式中，进行代数化简，证出 $x_{n+1}-x_n=d$ （常数）。

✅【答案】

Success

（1）x2=3，C1∶y=x2−7x+14.（2）xn=2n−1，故{xn}是等差数列.

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求 $x_2$ 及 $C_1$ 的方程

设抛物线 $C_n$ 上任意一点的坐标为 $(x,y)$，则该点到定点 $A_n(x_n,0)$ 的距离的平方为： $d^2=(x-x_n{)}^2+y^2=(x-x_n{)}^2+(x^2+a_{n}x+b_n{)}^2$ 当距离 $d$ 取得极小值（最短距离）时，其关于 $x$ 的导数必为 0。 对 $x$ 求导得： $(d^2{)}^{\prime }=2(x-x_n)+2(x^2+a_{n}x+b_n)(2x+a_n)=0$

依据题意，当 $x=x_{n+1}$ 时，该点即为 $P_{n+1}(x_{n+1},2^n)$，此时对应的纵坐标为 $y=x_{n+1}^2+a_n{x}_{n+1}+b_n=2^n$。 将 $x=x_{n+1}$ 和 $y=2^n$ 代入上述导数零点方程得： $2(x_{n+1}-x_n)+2\cdot 2^n\cdot (2x_{n+1}+a_n)=0$ 约去 2 整理得核心递推关系式： $x_{n+1}-x_n+2^n(2x_{n+1}+a_n)=0\text{(1)}$

当 $n=1$ 时，已知 $x_1=1$，代入已知条件 $a_n$ 的公式可求得 $a_1$： $a_1=-2-4(1)-\frac{1}{2^{1-1}}=-2-4-1=-7$

将 $n=1,x_1=1,a_1=-7$ 代入 ① 式： $x_2-1+2^1(2x_2-7)=0⟹x_2-1+4x_2-14=0⟹5x_2=15⟹x_2=3$

因为点 $P_2(x_2,2)=(3,2)$ 在抛物线 $C_1:y=x^2-7x+b_1$ 上，代入坐标得： $2=3^2-7\times 3+b_1⟹2=9-21+b_1⟹b_1=14$

故 $x_2=3$，抛物线 $C_1$ 的方程为： $y=x^2-7x+14$。

（2）证明：证明 $\{x_n\}$ 是等差数列

已知 $a_n=-2-4n-\frac{1}{2^{n-1}}$，将此表达式代入通用递推式 ① 中： $x_{n+1}-x_n+2^n\left(2x_{n+1}-2-4n-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=0$

展开含有 $2^n$ 的括号项： $x_{n+1}-x_n+2\cdot 2^n\cdot x_{n+1}-2^n(2+4n)-2^n\cdot \frac{1}{2^{n-1}}=0$

注意到最后一项 $2^n\cdot \frac{1}{2^{n-1}}=2^n\cdot \frac{2}{2^n}=2$，代入并合并含 $x_{n+1}$ 的项： $(1+2^{n+1})x_{n+1}-x_n-2^n(2+4n)-2=0\text{(2)}$

我们通过对关系式进行同构化简，来寻找 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ 的本质关系。由 ② 可知： $(1+2^{n+1})x_{n+1}-x_n=2^{n+1}(2n+1)+2$

尝试构造等差数列的形式。令 $x_{n+1}-x_n=d_n$，则 $x_{n+1}=x_n+d_n$。代入上式化简通常较繁琐。 我们可以将原式 ① 直接移项变形： $x_n=x_{n+1}+2^n(2x_{n+1}+a_n)=(1+2^{n+1})x_{n+1}+2^n\cdot a_n$ $x_n=(1+2^{n+1})x_{n+1}+2^n\left(-2-4n-\frac{2}{2^n}\right)$ $x_n=(1+2^{n+1})x_{n+1}-2^{n+1}-4n\cdot 2^n-2$

为了消去 $2^{n+1}$ 因子，我们引入辅助构造法： 观察 $a_n$ 中有 $-4n$，尝试计算特殊项。设 $x_n=2n-1$ 代入检验： 当 $x_n=2n-1$ 时， $x_{n+1}=2n+1$。 代入 ② 式左边： $(1+2^{n+1})(2n+1)-(2n-1)=2n+1+2^{n+1}(2n+1)-2n+1=2^{n+1}(2n+1)+2$ 恰好与右边恒等。

从而，由递推关系的唯一性，我们可以对通项进行直接作差证明： 由 ② 式，对 $x_{n+1}$ 移项分离： $(1+2^{n+1})x_{n+1}-2^{n+1}(2n+1)=x_n+2$ $(1+2^{n+1})x_{n+1}-2^{n+1}(2n+2-1)=x_n+2$ $(1+2^{n+1})(x_{n+1}-2n-1)=x_n-(2n-1)$

设新数列 $b_n=x_n-(2n-1)$，则上式可写为： $(1+2^{n+1})b_{n+1}=b_n$

因为 $x_1=1$，所以 $b_1=x_1-(2\times 1-1)=1-1=0$。 既然 $b_1=0$，根据递推式 $(1+2^{n+1})b_{n+1}=b_n$，可知对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，恒有： $b_n=0$

还原变量得： $x_n-(2n-1)=0⟹x_n=2n-1$

计算相邻两项的差值： $x_{n+1}-x_n=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2n+1-2n+1=2(\text{常数})$

因为相邻两项的差为常数 2，且首项 $x_1=1$， 故 $\{x_n\}$ 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到抛物线距离的导数最值判定、解析几何条件向数列递推方程的转化、特殊数列同构构造法。
2. 核心方法：构造新数列零值法（证明 $b_n=0$ 的不动点法）。
3. 避坑指南：本题在第（2）问的代数化简中，得到的递推式形如 $(1+2^{n+1})x_{n+1}-x_n=f(n)$，含有指数函数与一次函数的复合。此时切不可盲目用 $x_{n+2}$ 与 $x_{n+1}$ 的关系式做差，否则会导致方程项数暴增而无法化简。本解析采用的**“猜想通项并构造误差新数列 $b_n$”**的策略是破解此类高难度递推数列最快、最严密的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变抛物线的开口方向或焦点坐标，重新求解标准方程，并研究焦点弦的相关性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)