2005-浙江卷理-19 解-独立重复试验与二项分布

本题导读

本题主要考查独立重复试验（伯努利试验）模型、离散型随机变量的分布列、数学期望以及全概率分布性质的应用。第一问需要分清“恰好摸 5 次停止”的特定事件结构及二项分布的变型；第二问利用全概率的思想根据混合前后的红球总比例建立代数方程。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 袋子 $A$ 和 $B$ 中装有若干个均匀的红球和白球，从 $A$ 中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$，从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$.

(1)从 $A$ 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止.

① 求恰好摸 5 次停止的概率；

② 记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为 $\xi$，求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$；

(2)若 $A$、 $B$ 两个袋子中的球数之比为 $1:2$，将 $A$、 $B$ 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{5}$，求 $p$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问①：“恰好摸 5 次停止”意味着前 4 次试验中恰好有 2 次摸到红球，且第 5 次必须摸到红球。利用独立重复试验的概率公式求解。
2. 第（1）问②：明确 $\xi$ 的可能取值。因为有 3 次摸到红球即停止，在 5 次之内（含 5 次）摸球中：如果摸到红球达到 3 次，试验提前或刚好在第 3, 4, 5 次停止，此时 $\xi =3$；如果直到 5 次试验结束也没凑满 3 次红球，则 $\xi$ 可以取 $0,1,2$。分别计算对应概率，列出分布列并计算期望。
3. 第（2）问：设袋子 $A$ 中球数为 $N$，则袋子 $B$ 中球数为 $2N$。混合后总球数为 $3N$。利用混合后红球总数等于各自袋中红球数之和，建立一元一次方程求解 $p$。

✅【答案】

Success

$（1）（i）\frac{8}{81}.（ii）P(\xi =0)=\frac{32}{243}，P(\xi =1)=80$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

每次从 $A$ 袋中摸出红球的概率为 $P(\text{红})=\frac{1}{3}$，摸出白球的概率为 $P(\text{白})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。

① 求恰好摸 5 次停止的概率

“恰好摸 5 次停止”等价于：前 4 次摸球中恰好摸到 2 次红球，且第 5 次必然摸到红球。 故所求概率为： $P={\text{C}}_4^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}=6\times \frac{1}{9}\times \frac{4}{9}\times \frac{1}{3}=\frac{8}{81}$

② 求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$

根据试验规则，一旦摸满 3 次红球试验即停止。因此 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数 $\xi$ 的可能取值为 $0,1,2,3$。

各个取值对应的概率计算如下：

• 当 $\xi =0$ 时：意味着 5 次全部摸到白球： $P(\xi =0)={\text{C}}_5^0{\left(\frac{1}{3}\right)}^0{\left(\frac{2}{3}\right)}^5=\frac{32}{243}$
• 当 $\xi =1$ 时：意味着 5 次中恰好有 1 次摸到红球（由于未满 3 次，必然摸满了 5 次）： $P(\xi =1)={\text{C}}_5^1{\left(\frac{1}{3}\right)}^1{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=5\times \frac{1}{3}\times \frac{16}{81}=\frac{80}{243}$
• 当 $\xi =2$ 时：意味着 5 次中恰好有 2 次摸到红球： $P(\xi =2)={\text{C}}_5^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=10\times \frac{1}{9}\times \frac{8}{27}=\frac{80}{243}$
• 当 $\xi =3$ 时：意味着 5 次之内凑满了 3 次红球而停止。其概率等于 1 减去前三种情况的概率之和： $P(\xi =3)=1-\left(\frac{32}{243}+\frac{80}{243}+\frac{80}{243}\right)=1-\frac{192}{243}=\frac{51}{243}$

随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{51}{243}$

计算数学期望 $E\xi$： $E\xi =0\times \frac{32}{243}+1\times \frac{80}{243}+2\times \frac{80}{243}+3\times \frac{51}{243}$ $E\xi =\frac{0+80+160+153}{243}=\frac{393}{243}=\frac{131}{81}$

（2）解：求 $p$ 的值

设 $A$ 袋中球的总数为 $N$，则 $B$ 袋中球的总数为 $2N$。 装在一起后，总球数为 $N+2N=3N$。

混合前：

• $A$ 袋中的红球数为： $N\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}N$
• $B$ 袋中的红球数为： $2N\times p=2pN$

混合后： 总红球数为 $\frac{1}{3}N+2pN$。 根据题意，从混合后的口袋中摸出一个红球的概率为 $\frac{2}{5}$，则有： $\frac{\frac{1}{3}N+2pN}{3N}=\frac{2}{5}$

两边约去非零常数 $N$ 得： $\frac{\frac{1}{3}+2p}{3}=\frac{2}{5}⟹\frac{1}{3}+2p=\frac{6}{5}$ $2p=\frac{6}{5}-\frac{1}{3}=\frac{13}{15}⟹p=\frac{13}{30}$

故 $p$ 的值为 $\frac{13}{30}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：非标准停止型伯努利试验概率算理（“前 $n-1$ 次凑够 $m-1$ 次，最后一发入魂”）、离散随机变量期望公式、全概率期望加权模型。
2. 核心方法：间接法（余事件法）化简复合事件概率。
3. 避坑指南：在第（1）问②中，求 $\xi =3$ 的概率时，切勿直接套用普通的二项分布公式 ${\text{C}}_5^3{p}^3{q}^2$，因为一旦在第 3 次或第 4 次摸满 3 次红球，试验就已经提前终止了，不会进行满 5 次。最稳妥的做法是利用对立事件法，用 1 减去 $\xi =0,1,2$ 的概率。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变试验次数或命中概率，重新列分布列并求期望，体会独立重复试验的模型识别。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

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